Номер 1.78, страница 21 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.78. На рисунке 1 изображена часть графика функции $y = f(x)$, областью определения которой является отрезок $[ -7; 7 ]$. Изобразите в тетради график этой функции для $x \in [ -7; 7 ]$, если известно, что она является:

а) четной;

б) нечетной.

Рис. 1

На изображении показана часть графика функции $y = f(x)$ на отрезке $[-7; 0]$. Область определения функции — отрезок $[-7; 7]$. Нам необходимо достроить график на отрезке $[0; 7]$ для двух случаев.

а) четной

По определению, четная функция удовлетворяет условию $f(x) = f(-x)$ для любого $x$ из области определения. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат (оси $Oy$). Чтобы достроить график на отрезке $[0; 7]$, нужно отразить заданную часть графика симметрично относительно оси $Oy$.

Для этого каждой точке $(x, y)$ на известной части графика (где $x \in [-7; 0]$) поставим в соответствие точку $(-x, y)$ на недостающей части графика (где $-x \in [0; 7]$). Рассмотрим ключевые точки на исходном графике:

• Точка $(-7, 0)$ перейдет в точку $(7, 0)$.
• Точка максимума (приблизительно) $(-5.5, 4)$ перейдет в точку $(5.5, 4)$.
• Точка пересечения с осью абсцисс $(-4, 0)$ перейдет в точку $(4, 0)$.
• Точка минимума (приблизительно) $(-2, -4)$ перейдет в точку $(2, -4)$.
• Точка $(0, 0)$ останется на месте, так как она лежит на оси симметрии.

Соединив эти новые точки плавной кривой, аналогичной исходной, мы получим полный график четной функции.

Ответ:

б) нечетной

По определению, нечетная функция удовлетворяет условию $f(x) = -f(-x)$ для любого $x$ из области определения. Это означает, что ее график симметричен относительно начала координат, то есть точки $(0, 0)$. Чтобы достроить график на отрезке $[0; 7]$, нужно отразить заданную часть графика симметрично относительно начала координат.

Для этого каждой точке $(x, y)$ на известной части графика (где $x \in [-7; 0]$) поставим в соответствие точку $(-x, -y)$ на недостающей части графика (где $-x \in [0; 7]$). Рассмотрим ключевые точки на исходном графике:

• Точка $(-7, 0)$ перейдет в точку $(7, -0)$, то есть в $(7, 0)$.
• Точка максимума (приблизительно) $(-5.5, 4)$ перейдет в точку $(5.5, -4)$.
• Точка пересечения с осью абсцисс $(-4, 0)$ перейдет в точку $(4, -0)$, то есть в $(4, 0)$.
• Точка минимума (приблизительно) $(-2, -4)$ перейдет в точку $(2, -(-4))$, то есть в $(2, 4)$.
• Точка $(0, 0)$ останется на месте, так как она является центром симметрии.

Соединив эти новые точки плавной кривой, мы получим полный график нечетной функции.

Ответ: