Номер 1.79, страница 21 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.79*. Найдите область определения функции $y = \frac{x^3 - 8x^2 + 7x}{x}$ и постройте ее график.

Нахождение области определения функции

Дана функция $y = \frac{x^3 - 8x^2 + 7x}{x}$. Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента $x$, при которых выражение для функции имеет смысл. Данная функция является дробно-рациональной. Единственное ограничение накладывается на знаменатель дроби: он не должен быть равен нулю.

$x \neq 0$.

Следовательно, область определения функции $D(y)$ — это все действительные числа, кроме нуля.

Ответ: $D(y) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

Построение графика

Для построения графика сначала упростим данную функцию. В числителе дроби вынесем общий множитель $x$ за скобки: $y = \frac{x(x^2 - 8x + 7)}{x}$.

Так как из области определения мы знаем, что $x \neq 0$, мы можем сократить дробь на $x$: $y = x^2 - 8x + 7$.

Это уравнение квадратичной функции, графиком которой является парабола. Таким образом, график исходной функции будет представлять собой параболу $y = x^2 - 8x + 7$ с "выколотой" точкой при $x=0$.

Найдем ключевые параметры параболы $y = x^2 - 8x + 7$:

1. Направление ветвей. Коэффициент при $x^2$ равен $a=1$, что больше нуля ($a > 0$), поэтому ветви параболы направлены вверх.

2. Вершина параболы. Найдем координаты вершины $(x_v, y_v)$:
$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-8}{2 \cdot 1} = 4$.
$y_v = (4)^2 - 8(4) + 7 = 16 - 32 + 7 = -9$.
Координаты вершины: $(4, -9)$.

3. Точки пересечения с осями координат.
Пересечение с осью абсцисс (Ox), при $y=0$:
$x^2 - 8x + 7 = 0$.
Используя теорему Виета, находим корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 7$.
Точки пересечения с Ox: $(1, 0)$ и $(7, 0)$.
Пересечение с осью ординат (Oy), при $x=0$:
Найдем значение $y$ для "выколотой" точки, подставив $x=0$ в упрощенное уравнение:
$y = 0^2 - 8(0) + 7 = 7$.
Следовательно, на графике будет выколотая точка с координатами $(0, 7)$.

Таким образом, мы строим параболу $y = x^2 - 8x + 7$ (с вершиной в $(4, -9)$ и нулями в $x=1, x=7$) и "выкалываем" на ней точку $(0, 7)$.

Ответ: Графиком функции является парабола $y = x^2 - 8x + 7$ с выколотой точкой $(0, 7)$. Ветви параболы направлены вверх, вершина находится в точке $(4, -9)$, а точки пересечения с осью Ox — $(1, 0)$ и $(7, 0)$.