Номер 1.70, страница 20 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.70. Упростите выражение $\sqrt[5]{243m^5} + \sqrt[4]{16m^4} - \sqrt{36m^2}$ и найдите его значение при $m = -\frac{1}{7}$.

Упростите выражение

Для начала упростим каждый член выражения $\sqrt[5]{243m^5} + \sqrt[4]{16m^4} - \sqrt{36m^2}$, используя свойства корней.

1. Первый член $\sqrt[5]{243m^5}$.
Показатель корня 5 — нечетное число. Используем свойство $\sqrt[n]{a^n} = a$ для нечетного $n$.
Поскольку $243 = 3^5$, получаем:
$\sqrt[5]{243m^5} = \sqrt[5]{3^5 \cdot m^5} = \sqrt[5]{(3m)^5} = 3m$.

2. Второй член $\sqrt[4]{16m^4}$.
Показатель корня 4 — четное число. Используем свойство $\sqrt[n]{a^n} = |a|$ для четного $n$.
Поскольку $16 = 2^4$, получаем:
$\sqrt[4]{16m^4} = \sqrt[4]{2^4 \cdot m^4} = \sqrt[4]{(2m)^4} = |2m| = 2|m|$.

3. Третий член $\sqrt{36m^2}$.
Квадратный корень — это корень второй степени, где показатель 2 является четным числом.
Поскольку $36 = 6^2$, получаем:
$\sqrt{36m^2} = \sqrt{6^2 \cdot m^2} = \sqrt{(6m)^2} = |6m| = 6|m|$.

Теперь подставим упрощенные члены обратно в исходное выражение:
$3m + 2|m| - 6|m| = 3m - 4|m|$.

Найдите его значение при $m = -\frac{1}{7}$

Теперь подставим значение $m = -\frac{1}{7}$ в упрощенное выражение $3m - 4|m|$.
Так как $m = -\frac{1}{7}$ — отрицательное число ($m < 0$), то его модуль равен $|m| = |- \frac{1}{7}| = \frac{1}{7}$.
Выполним вычисления:
$3 \cdot \left(-\frac{1}{7}\right) - 4 \cdot \left|-\frac{1}{7}\right| = 3 \cdot \left(-\frac{1}{7}\right) - 4 \cdot \left(\frac{1}{7}\right) = -\frac{3}{7} - \frac{4}{7} = \frac{-3-4}{7} = \frac{-7}{7} = -1$.

Ответ: -1.