Номер 1.63, страница 20 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.63. Воспользуйтесь свойствами корней n-й степени и найдите значение выражения:

а) $\sqrt[3]{125 \cdot 216}$;

б) $\frac{\sqrt[4]{405}}{\sqrt[4]{5}}$;

в) $(-2\sqrt[5]{5})^5$;

г) $\sqrt[6]{12 - 4\sqrt{5}} \cdot \sqrt[6]{12 + 4\sqrt{5}}$.

а) Чтобы найти значение выражения $\sqrt[3]{125 \cdot 216}$, воспользуемся свойством корня из произведения $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$.
$\sqrt[3]{125 \cdot 216} = \sqrt[3]{125} \cdot \sqrt[3]{216}$
Найдем значения корней по отдельности. Кубический корень из 125 равен 5, так как $5^3 = 125$. Кубический корень из 216 равен 6, так как $6^3 = 216$.
$\sqrt[3]{125} \cdot \sqrt[3]{216} = 5 \cdot 6 = 30$.
Ответ: 30

б) Для выражения $\frac{\sqrt[4]{405}}{\sqrt[4]{5}}$ применим свойство частного корней одинаковой степени $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$.
$\frac{\sqrt[4]{405}}{\sqrt[4]{5}} = \sqrt[4]{\frac{405}{5}} = \sqrt[4]{81}$
Корень четвертой степени из 81 равен 3, так как $3^4 = 81$.
Ответ: 3

в) В выражении $(-2\sqrt[5]{5})^5$ воспользуемся свойством возведения произведения в степень $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ и определением корня n-ой степени $(\sqrt[n]{a})^n = a$.
$(-2\sqrt[5]{5})^5 = (-2)^5 \cdot (\sqrt[5]{5})^5$
Вычислим каждый множитель:
$(-2)^5 = -32$
$(\sqrt[5]{5})^5 = 5$
Теперь перемножим результаты: $-32 \cdot 5 = -160$.
Ответ: -160

г) Для вычисления произведения $\sqrt[6]{12 - 4\sqrt{5}} \cdot \sqrt[6]{12 + 4\sqrt{5}}$ используем свойство произведения корней $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$.
$\sqrt[6]{12 - 4\sqrt{5}} \cdot \sqrt[6]{12 + 4\sqrt{5}} = \sqrt[6]{(12 - 4\sqrt{5})(12 + 4\sqrt{5})}$
Выражение под корнем представляет собой формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где $a=12$ и $b=4\sqrt{5}$.
$(12 - 4\sqrt{5})(12 + 4\sqrt{5}) = 12^2 - (4\sqrt{5})^2 = 144 - (4^2 \cdot (\sqrt{5})^2) = 144 - (16 \cdot 5) = 144 - 80 = 64$.
Таким образом, исходное выражение равно $\sqrt[6]{64}$.
Так как $2^6 = 64$, то $\sqrt[6]{64} = 2$.
Ответ: 2