Номер 1.60, страница 19 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.60. Найдите область определения функции $f(x) = \sqrt[6]{x - 8} + \frac{3}{\sqrt[4]{10 - x}}$.

Область определения функции (ОДЗ) — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. Данная функция $f(x) = \sqrt[6]{x-8} + \frac{3}{\sqrt[4]{10-x}}$ состоит из двух слагаемых, поэтому ее область определения является пересечением областей определения для каждого из слагаемых.

1. Для первого слагаемого $\sqrt[6]{x-8}$ выражение под корнем четной степени (6-й степени) должно быть неотрицательным. Это приводит к первому неравенству:

$x - 8 \geq 0$

Решая его, получаем:

$x \geq 8$

2. Для второго слагаемого $\frac{3}{\sqrt[4]{10-x}}$ выражение под корнем четной степени (4-й степени) находится в знаменателе. Это означает, что подкоренное выражение должно быть строго положительным (оно не может быть отрицательным из-за четной степени корня и не может быть равно нулю, так как находится в знаменателе):

$10 - x > 0$

Решая это неравенство, получаем:

$x < 10$

Чтобы найти область определения исходной функции, необходимо найти значения $x$, которые удовлетворяют обоим условиям одновременно. Для этого решим систему неравенств:

$\begin{cases} x \geq 8 \\ x < 10 \end{cases}$

Решением данной системы является пересечение двух множеств: $x \in [8; +\infty)$ и $x \in (-\infty; 10)$. Это соответствует промежутку, где $x$ больше или равен 8 и одновременно строго меньше 10. Таким образом, область определения функции записывается в виде интервала.
Ответ: $[8; 10)$