Номер 1.55, страница 19 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.55. Сократите дробь:

a) $\frac{b^2\sqrt{5} - c^2\sqrt{7}}{b\sqrt{5} - c\sqrt{7}}$;

б) $\frac{a^2\sqrt{3} + 2a^{\sqrt{3}}b^{\sqrt{2}} + b^2\sqrt{2}}{a^{2\sqrt{3}} - b^{2\sqrt{2}}}$.

а) Чтобы сократить дробь $\frac{b^{2\sqrt{5}} - c^{2\sqrt{7}}}{b^{\sqrt{5}} - c^{\sqrt{7}}}$, необходимо разложить числитель на множители. Заметим, что числитель представляет собой разность. Используя свойство степени $x^{mn} = (x^m)^n$, перепишем члены числителя: $b^{2\sqrt{5}} = (b^{\sqrt{5}})^2$ и $c^{2\sqrt{7}} = (c^{\sqrt{7}})^2$. Таким образом, числитель принимает вид $(b^{\sqrt{5}})^2 - (c^{\sqrt{7}})^2$. Это формула разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$. Применив ее, где $x = b^{\sqrt{5}}$ и $y = c^{\sqrt{7}}$, получаем: $(b^{\sqrt{5}} - c^{\sqrt{7}})(b^{\sqrt{5}} + c^{\sqrt{7}})$. Теперь подставим разложенный числитель обратно в дробь: $\frac{(b^{\sqrt{5}} - c^{\sqrt{7}})(b^{\sqrt{5}} + c^{\sqrt{7}})}{b^{\sqrt{5}} - c^{\sqrt{7}}}$. Сокращаем общий множитель $(b^{\sqrt{5}} - c^{\sqrt{7}})$ в числителе и знаменателе. В результате получаем $b^{\sqrt{5}} + c^{\sqrt{7}}$. Ответ: $b^{\sqrt{5}} + c^{\sqrt{7}}$

б) Чтобы сократить дробь $\frac{a^{2\sqrt{3}} + 2a^{\sqrt{3}}b^{\sqrt{2}} + b^{2\sqrt{2}}}{a^{2\sqrt{3}} - b^{2\sqrt{2}}}$, разложим на множители и числитель, и знаменатель. Числитель $a^{2\sqrt{3}} + 2a^{\sqrt{3}}b^{\sqrt{2}} + b^{2\sqrt{2}}$ можно представить в виде $(a^{\sqrt{3}})^2 + 2(a^{\sqrt{3}})(b^{\sqrt{2}}) + (b^{\sqrt{2}})^2$. Это формула квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$, где $x = a^{\sqrt{3}}$ и $y = b^{\sqrt{2}}$. Таким образом, числитель равен $(a^{\sqrt{3}} + b^{\sqrt{2}})^2$. Знаменатель $a^{2\sqrt{3}} - b^{2\sqrt{2}}$ является разностью квадратов $(a^{\sqrt{3}})^2 - (b^{\sqrt{2}})^2$. По формуле $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$ знаменатель раскладывается на множители $(a^{\sqrt{3}} - b^{\sqrt{2}})(a^{\sqrt{3}} + b^{\sqrt{2}})$. Теперь исходная дробь имеет вид: $\frac{(a^{\sqrt{3}} + b^{\sqrt{2}})^2}{(a^{\sqrt{3}} - b^{\sqrt{2}})(a^{\sqrt{3}} + b^{\sqrt{2}})}$. Сократим общий множитель $(a^{\sqrt{3}} + b^{\sqrt{2}})$ в числителе и знаменателе. В результате получаем $\frac{a^{\sqrt{3}} + b^{\sqrt{2}}}{a^{\sqrt{3}} - b^{\sqrt{2}}}$. Ответ: $\frac{a^{\sqrt{3}} + b^{\sqrt{2}}}{a^{\sqrt{3}} - b^{\sqrt{2}}}$