Номер 1.48, страница 18 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.48. Сократите дробь $\frac{b^{-3} - a^2 b^{-\frac{1}{2}}}{ab^{-1} - a^2 b^{-2}}$ и найдите ее значение при $a = 0,25$ и $b = 0,2$.

Сократите дробь

Исходное выражение: $ \frac{b^{-3} - a^2b^{-2}}{ab^{-1} - a^2b^{-2}} $.

Чтобы упростить дробь, сначала преобразуем отрицательные степени в положительные, используя свойство $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$.

Преобразуем числитель дроби: $b^{-3} - a^2b^{-2} = \frac{1}{b^3} - \frac{a^2}{b^2}$. Приводя к общему знаменателю $b^3$, получаем: $ \frac{1}{b^3} - \frac{a^2 \cdot b}{b^2 \cdot b} = \frac{1 - a^2b}{b^3} $.

Преобразуем знаменатель дроби: $ab^{-1} - a^2b^{-2} = \frac{a}{b} - \frac{a^2}{b^2}$. Приводя к общему знаменателю $b^2$, получаем: $ \frac{a \cdot b}{b \cdot b} - \frac{a^2}{b^2} = \frac{ab - a^2}{b^2} = \frac{a(b-a)}{b^2} $.

Теперь подставим преобразованные числитель и знаменатель обратно в исходную дробь: $ \frac{\frac{1 - a^2b}{b^3}}{\frac{a(b-a)}{b^2}} $.

Для деления дробей умножаем числитель на перевернутый знаменатель и сокращаем общий множитель $b^2$: $ \frac{1 - a^2b}{b^3} \cdot \frac{b^2}{a(b-a)} = \frac{1 - a^2b}{b \cdot a(b-a)} = \frac{1 - a^2b}{ab(b-a)} $.

Ответ: $ \frac{1 - a^2b}{ab(b-a)} $

Найдите ее значение при $a = 0,25$ и $b = 0,2$

Подставим значения $a = 0,25$ и $b = 0,2$ в упрощенную дробь. Для удобства вычислений переведем десятичные дроби в обыкновенные: $ a = 0,25 = \frac{1}{4} $; $ b = 0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} $.

Вычислим значение числителя $1 - a^2b$: $ 1 - a^2b = 1 - \left(\frac{1}{4}\right)^2 \cdot \frac{1}{5} = 1 - \frac{1}{16} \cdot \frac{1}{5} = 1 - \frac{1}{80} = \frac{80-1}{80} = \frac{79}{80} $.

Вычислим значение знаменателя $ab(b-a)$: $ ab(b-a) = \left(\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{5}\right) \cdot \left(\frac{1}{5} - \frac{1}{4}\right) = \frac{1}{20} \cdot \left(\frac{4}{20} - \frac{5}{20}\right) = \frac{1}{20} \cdot \left(-\frac{1}{20}\right) = -\frac{1}{400} $.

Найдем итоговое значение выражения, разделив числитель на знаменатель: $ \frac{\frac{79}{80}}{-\frac{1}{400}} = -\frac{79}{80} \cdot \frac{400}{1} = -79 \cdot \frac{400}{80} = -79 \cdot 5 = -395 $.

Ответ: -395