Номер 1.46, страница 18 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.46. Разложите на множители выражение:

а) $x^{\frac{1}{2}}-x$;

б) $m+m^{\frac{3}{4}}$;

в) $b^{\frac{1}{4}}-3b^{\frac{1}{2}}$;

г) $7a^{\frac{1}{6}}-4a^{\frac{2}{3}}$.

а) Чтобы разложить на множители выражение $x^{\frac{1}{2}} - x$, необходимо вынести за скобки общий множитель. Общим множителем является переменная в наименьшей степени. В данном случае это $x^{\frac{1}{2}}$, так как $x = x^1$ и $\frac{1}{2} < 1$. Выносим $x^{\frac{1}{2}}$ за скобки:
$x^{\frac{1}{2}} - x = x^{\frac{1}{2}} - x^1 = x^{\frac{1}{2}}( \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^1}{x^{\frac{1}{2}}} )$
При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются:
$x^{\frac{1}{2}}(x^{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}} - x^{1-\frac{1}{2}}) = x^{\frac{1}{2}}(x^0 - x^{\frac{1}{2}}) = x^{\frac{1}{2}}(1 - x^{\frac{1}{2}})$
Ответ: $x^{\frac{1}{2}}(1 - x^{\frac{1}{2}})$

б) В выражении $m + m^{\frac{3}{4}}$ представим $m$ как $m^1$. Наименьшая степень переменной $m$ равна $\frac{3}{4}$, так как $\frac{3}{4} < 1$. Вынесем $m^{\frac{3}{4}}$ за скобки:
$m^1 + m^{\frac{3}{4}} = m^{\frac{3}{4}}( \frac{m^1}{m^{\frac{3}{4}}} + \frac{m^{\frac{3}{4}}}{m^{\frac{3}{4}}} ) = m^{\frac{3}{4}}(m^{1-\frac{3}{4}} + m^{\frac{3}{4}-\frac{3}{4}})$
Упрощаем показатели степеней:
$m^{\frac{3}{4}}(m^{\frac{1}{4}} + m^0) = m^{\frac{3}{4}}(m^{\frac{1}{4}} + 1)$
Ответ: $m^{\frac{3}{4}}(m^{\frac{1}{4}} + 1)$

в) Для разложения на множители выражения $b^{\frac{1}{4}} - 3b^{\frac{1}{2}}$ определим наименьшую степень переменной $b$. Сравнивая степени $\frac{1}{4}$ и $\frac{1}{2}$, видим, что $\frac{1}{4}$ является наименьшей ($\frac{1}{4} < \frac{1}{2}$). Вынесем $b^{\frac{1}{4}}$ за скобки:
$b^{\frac{1}{4}} - 3b^{\frac{1}{2}} = b^{\frac{1}{4}}( \frac{b^{\frac{1}{4}}}{b^{\frac{1}{4}}} - \frac{3b^{\frac{1}{2}}}{b^{\frac{1}{4}}} ) = b^{\frac{1}{4}}(1 - 3b^{\frac{1}{2}-\frac{1}{4}})$
Приводим показатели к общему знаменателю и вычитаем:
$b^{\frac{1}{4}}(1 - 3b^{\frac{2}{4}-\frac{1}{4}}) = b^{\frac{1}{4}}(1 - 3b^{\frac{1}{4}})$
Ответ: $b^{\frac{1}{4}}(1 - 3b^{\frac{1}{4}})$

г) В выражении $7a^{\frac{1}{6}} - 4a^{\frac{2}{3}}$ наименьшая степень переменной $a$ это $\frac{1}{6}$ (поскольку $\frac{2}{3} = \frac{4}{6}$, а $\frac{1}{6} < \frac{4}{6}$). Вынесем $a^{\frac{1}{6}}$ за скобки:
$7a^{\frac{1}{6}} - 4a^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{1}{6}}( \frac{7a^{\frac{1}{6}}}{a^{\frac{1}{6}}} - \frac{4a^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{1}{6}}} ) = a^{\frac{1}{6}}(7a^{\frac{1}{6}-\frac{1}{6}} - 4a^{\frac{2}{3}-\frac{1}{6}})$
Упрощаем выражения в скобках, приводя показатели к общему знаменателю:
$a^{\frac{1}{6}}(7a^0 - 4a^{\frac{4}{6}-\frac{1}{6}}) = a^{\frac{1}{6}}(7 \cdot 1 - 4a^{\frac{3}{6}}) = a^{\frac{1}{6}}(7 - 4a^{\frac{1}{2}})$
Ответ: $a^{\frac{1}{6}}(7 - 4a^{\frac{1}{2}})$