Номер 1.39, страница 17 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.39. Используйте свойства степени с рациональным показателем и найдите значение выражения:

а) $5^{\frac{1}{6}} \cdot 5^{-\frac{1}{6}}$;

б) $2 \cdot (4^2)^{-0,25}$;

в) $10^{-\frac{4}{5}} : 10^{-2,8}$;

г) $(2^{1,5})^{-2} : 16^{-1,25}$;

д) $5^{-4,8} : (5^{-1,4})^2$;

е) $1,8^{6,7} \cdot \left(\frac{5}{9}\right)^{6,7}$;

ж) $12^5 : \left(6^{-\frac{1}{3}}\right)^{-15}$;

з) $(81 \cdot 0,0016)^{\frac{1}{4}}$;

и) $(100~000 : 243)^{\frac{2}{5}}$.

а) Используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Представим смешанную дробь $-1\frac{1}{6}$ в виде неправильной дроби $-\frac{7}{6}$. Тогда выражение примет вид: $5^{\frac{1}{6}} \cdot 5^{-\frac{7}{6}} = 5^{\frac{1}{6} - \frac{7}{6}} = 5^{-\frac{6}{6}} = 5^{-1}$. По определению степени с отрицательным показателем, $5^{-1} = \frac{1}{5}$.
Ответ: $\frac{1}{5}$.

б) Упростим выражение $2 \cdot (4^2)^{-0,25}$, используя свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$. Сначала упростим скобку: $(4^2)^{-0,25} = 4^{2 \cdot (-0,25)} = 4^{-0,5}$. Представим $4$ как $2^2$ и десятичную дробь $-0,5$ как $-\frac{1}{2}$. Получим: $2 \cdot (2^2)^{-\frac{1}{2}} = 2 \cdot 2^{2 \cdot (-\frac{1}{2})} = 2 \cdot 2^{-1}$. Теперь применим свойство умножения степеней: $2^1 \cdot 2^{-1} = 2^{1-1} = 2^0 = 1$.
Ответ: $1$.

в) Для выражения $10^{-\frac{4}{5}} : 10^{-2,8}$ используем свойство деления степеней с одинаковым основанием $a^m : a^n = a^{m-n}$. Переведем дробный показатель в десятичный: $-\frac{4}{5} = -0,8$. Тогда $10^{-0,8} : 10^{-2,8} = 10^{-0,8 - (-2,8)} = 10^{-0,8 + 2,8} = 10^2 = 100$.
Ответ: $100$.

г) В выражении $(2^{1,5})^{-2} : 16^{-1,25}$ сначала упростим каждый член. Первый член: $(2^{1,5})^{-2} = 2^{1,5 \cdot (-2)} = 2^{-3}$. Второй член: представим $16$ как $2^4$, тогда $16^{-1,25} = (2^4)^{-1,25} = 2^{4 \cdot (-1,25)} = 2^{-5}$. Теперь выполним деление: $2^{-3} : 2^{-5} = 2^{-3 - (-5)} = 2^{-3+5} = 2^2 = 4$.
Ответ: $4$.

д) В выражении $5^{-4,8} : (5^{-1,4})^2$ сначала упростим делитель, используя свойство $(a^m)^n = a^{mn}$: $(5^{-1,4})^2 = 5^{-1,4 \cdot 2} = 5^{-2,8}$. Теперь выполним деление степеней с одинаковым основанием: $5^{-4,8} : 5^{-2,8} = 5^{-4,8 - (-2,8)} = 5^{-4,8 + 2,8} = 5^{-2}$. По определению степени с отрицательным показателем, $5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}$.
Ответ: $\frac{1}{25}$.

е) Используем свойство $a^n \cdot b^n = (ab)^n$ для выражения $1,8^{6,7} \cdot (\frac{5}{9})^{6,7}$. Получаем $(1,8 \cdot \frac{5}{9})^{6,7}$. Переведем десятичную дробь $1,8$ в обыкновенную: $1,8 = \frac{18}{10} = \frac{9}{5}$. Теперь перемножим основания: $(\frac{9}{5} \cdot \frac{5}{9})^{6,7} = 1^{6,7} = 1$.
Ответ: $1$.

ж) В выражении $12^5 : (6^{-\frac{1}{3}})^{-15}$ сначала упростим делитель: $(6^{-\frac{1}{3}})^{-15} = 6^{(-\frac{1}{3}) \cdot (-15)} = 6^5$. Теперь выражение имеет вид $12^5 : 6^5$. Используем свойство $a^n : b^n = (a:b)^n$: $(12:6)^5 = 2^5 = 32$.
Ответ: $32$.

з) Используем свойство $(ab)^n = a^n b^n$ для выражения $(81 \cdot 0,0016)^{\frac{1}{4}}$. Получаем $81^{\frac{1}{4}} \cdot 0,0016^{\frac{1}{4}}$. Вычислим каждый множитель. $81^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{81} = 3$, так как $3^4 = 81$. Для второго множителя представим $0,0016$ как $\frac{16}{10000}$. Тогда $0,0016^{\frac{1}{4}} = (\frac{16}{10000})^{\frac{1}{4}} = \frac{16^{\frac{1}{4}}}{10000^{\frac{1}{4}}} = \frac{2}{10} = 0,2$. Перемножим результаты: $3 \cdot 0,2 = 0,6$.
Ответ: $0,6$.

и) Используем свойство $(a:b)^n = a^n : b^n$. Для выражения $(100\,000 : 243)^{\frac{2}{5}}$ представим числа в виде степеней: $100\,000 = 10^5$ и $243 = 3^5$. Тогда $(10^5 : 3^5)^{\frac{2}{5}} = ( ( \frac{10}{3} )^5 )^{\frac{2}{5}} = ( \frac{10}{3} )^{5 \cdot \frac{2}{5}} = ( \frac{10}{3} )^2 = \frac{10^2}{3^2} = \frac{100}{9}$.
Ответ: $\frac{100}{9}$.