Номер 1.38, страница 17 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.38. Представьте выражение в виде степени:

$x^{\frac{1}{4}} \cdot x^{-\frac{1}{5}};$

$a^{0,5} \cdot a^{-\frac{1}{6}} \cdot a^{3};$

$c^{0,7} \cdot c^{-0,2} : c^{-\frac{4}{15}};$

$b^2 \cdot \left(b^{\frac{4}{9}}\right)^{1,8};$

$(y^{-0,6})^{\frac{7}{6}} : y;$

$m \cdot \left(m^{4,5}\right)^{\frac{2}{9}}.$

а) Для того чтобы представить выражение $x^{\frac{1}{4}} \cdot x^{-\frac{1}{5}}$ в виде степени, используется свойство умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
Основание в данном случае $x$, а показатели степеней равны $\frac{1}{4}$ и $-\frac{1}{5}$. Необходимо сложить показатели:
$x^{\frac{1}{4}} \cdot x^{-\frac{1}{5}} = x^{\frac{1}{4} + (-\frac{1}{5})} = x^{\frac{1}{4} - \frac{1}{5}}$
Для вычитания дробей приводим их к общему знаменателю 20:
$\frac{1}{4} - \frac{1}{5} = \frac{5}{20} - \frac{4}{20} = \frac{1}{20}$
Таким образом, итоговое выражение равно $x^{\frac{1}{20}}$.
Ответ: $x^{\frac{1}{20}}$

б) В выражении $a^{0,5} \cdot a^{-\frac{1}{6}} \cdot a^{\frac{1}{3}}$ все множители имеют одинаковое основание $a$. Применяем свойство $a^m \cdot a^n \cdot a^p = a^{m+n+p}$ и складываем все показатели:
$0,5 + (-\frac{1}{6}) + \frac{1}{3}$
Для удобства вычислений переведем десятичную дробь 0,5 в обыкновенную: $0,5 = \frac{1}{2}$.
Теперь найдем сумму дробей, приведя их к общему знаменателю 6:
$\frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} - \frac{1}{6} + \frac{2}{6} = \frac{3-1+2}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
Следовательно, выражение можно представить в виде $a^{\frac{2}{3}}$.
Ответ: $a^{\frac{2}{3}}$

в) Рассмотрим выражение $c^{0,7} \cdot c^{-0,2} : c^{-\frac{4}{15}}$. Здесь используются операции умножения и деления степеней с одинаковым основанием $c$. Применяем свойства $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $a^m : a^n = a^{m-n}$.
Показатель итоговой степени будет равен сумме показателей множителей минус показатель делителя:
$0,7 + (-0,2) - (-\frac{4}{15}) = 0,7 - 0,2 + \frac{4}{15} = 0,5 + \frac{4}{15}$
Переведем 0,5 в обыкновенную дробь $\frac{1}{2}$ и сложим с $\frac{4}{15}$, приведя к общему знаменателю 30:
$\frac{1}{2} + \frac{4}{15} = \frac{15}{30} + \frac{8}{30} = \frac{23}{30}$
Таким образом, итоговое выражение равно $c^{\frac{23}{30}}$.
Ответ: $c^{\frac{23}{30}}$

г) В выражении $b^2 \cdot (b^{\frac{4}{9}})^{1,8}$ сначала упростим второй множитель. Для этого используем правило возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
$(b^{\frac{4}{9}})^{1,8} = b^{\frac{4}{9} \cdot 1,8}$
Представим десятичное число 1,8 в виде обыкновенной дроби: $1,8 = \frac{18}{10} = \frac{9}{5}$.
Перемножим показатели: $\frac{4}{9} \cdot \frac{9}{5} = \frac{4}{5}$.
Теперь выражение принимает вид: $b^2 \cdot b^{\frac{4}{5}}$.
Далее воспользуемся правилом умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$b^{2 + \frac{4}{5}} = b^{\frac{10}{5} + \frac{4}{5}} = b^{\frac{14}{5}}$
Ответ: $b^{\frac{14}{5}}$

д) Упростим выражение $(y^{-0,6})^{1\frac{1}{6}} : y$. Сначала преобразуем первый множитель по правилу $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
Переведем показатели в обыкновенные дроби: $-0,6 = -\frac{6}{10} = -\frac{3}{5}$ и $1\frac{1}{6} = \frac{7}{6}$.
Перемножим показатели: $-\frac{3}{5} \cdot \frac{7}{6} = -\frac{21}{30} = -\frac{7}{10}$.
Первый множитель равен $y^{-\frac{7}{10}}$.
Теперь выполним деление: $y^{-\frac{7}{10}} : y$. Учитывая, что $y=y^1$, применим правило деления степеней $a^m : a^n = a^{m-n}$:
$y^{-\frac{7}{10} - 1} = y^{-\frac{7}{10} - \frac{10}{10}} = y^{-\frac{17}{10}}$
Ответ: $y^{-\frac{17}{10}}$

е) Рассмотрим выражение $m \cdot (m^{4,5})^{\frac{2}{9}}$. Первым шагом упростим множитель в скобках, используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
Переведем десятичный показатель 4,5 в обыкновенную дробь: $4,5 = \frac{9}{2}$.
Перемножим показатели: $\frac{9}{2} \cdot \frac{2}{9} = 1$.
Значит, $(m^{4,5})^{\frac{2}{9}} = m^1 = m$.
Теперь исходное выражение принимает вид: $m \cdot m$.
Учитывая, что $m = m^1$, по правилу умножения степеней получаем: $m^{1+1} = m^2$.
Ответ: $m^2$