Номер 1.32, страница 16 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.32*. Определите, является ли значение выражения натуральным числом:

a) $2^{(\sqrt{2}+1)^2} : 4^{\sqrt{2}}$;б) $\frac{(\sqrt{125})^{\sqrt{28}}}{5^{\sqrt{63}-2}}$;В) $3^{\sqrt{4-2\sqrt{3}}} : 3^{\sqrt{3}}$.

а) $2^{(\sqrt{2}+1)^2} : 4^{\sqrt{2}}$

Чтобы решить это выражение, сначала упростим показатель степени в первом множителе, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$:

$(\sqrt{2}+1)^2 = (\sqrt{2})^2 + 2 \cdot \sqrt{2} \cdot 1 + 1^2 = 2 + 2\sqrt{2} + 1 = 3 + 2\sqrt{2}$

Таким образом, первый член выражения равен $2^{3+2\sqrt{2}}$.

Далее, преобразуем второй член, приведя его к основанию 2:

$4^{\sqrt{2}} = (2^2)^{\sqrt{2}} = 2^{2 \cdot \sqrt{2}} = 2^{2\sqrt{2}}$

Теперь выполним деление степеней с одинаковым основанием по правилу $a^m : a^n = a^{m-n}$:

$2^{3+2\sqrt{2}} : 2^{2\sqrt{2}} = 2^{(3+2\sqrt{2}) - 2\sqrt{2}} = 2^3 = 8$

Полученное значение 8 является натуральным числом.

Ответ: да, является натуральным числом.

б) $\frac{(\sqrt{125})^{\sqrt{28}}}{5^{\sqrt{63}-2}}$

Для упрощения дроби приведем все степени к основанию 5. Начнем с числителя. Преобразуем его основание и показатель.

Основание: $\sqrt{125} = \sqrt{5^3} = 5^{3/2}$.

Показатель: $\sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7}$.

Следовательно, числитель равен: $(\sqrt{125})^{\sqrt{28}} = (5^{3/2})^{2\sqrt{7}} = 5^{\frac{3}{2} \cdot 2\sqrt{7}} = 5^{3\sqrt{7}}$.

Теперь упростим показатель степени в знаменателе:

$\sqrt{63}-2 = \sqrt{9 \cdot 7} - 2 = 3\sqrt{7}-2$.

Знаменатель равен: $5^{3\sqrt{7}-2}$.

Выполним деление, используя свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{5^{3\sqrt{7}}}{5^{3\sqrt{7}-2}} = 5^{3\sqrt{7} - (3\sqrt{7}-2)} = 5^{3\sqrt{7} - 3\sqrt{7} + 2} = 5^2 = 25$

Полученное значение 25 является натуральным числом.

Ответ: да, является натуральным числом.

в) $3^{\sqrt{4-2\sqrt{3}}} : 3^{\sqrt{3}}$

Сначала упростим сложный радикал в показателе степени первого члена $\sqrt{4-2\sqrt{3}}$. Для этого представим подкоренное выражение в виде полного квадрата разности, используя формулу $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$4-2\sqrt{3} = 3 - 2\sqrt{3} + 1 = (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{3}-1)^2$

Теперь извлечем корень:

$\sqrt{4-2\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3}-1)^2} = |\sqrt{3}-1|$

Так как $\sqrt{3} \approx 1.732$, то $\sqrt{3}-1 > 0$, и модуль можно опустить: $|\sqrt{3}-1| = \sqrt{3}-1$.

Теперь, когда показатель упрощен, выполним деление степеней с одинаковым основанием:

$3^{\sqrt{3}-1} : 3^{\sqrt{3}} = 3^{(\sqrt{3}-1) - \sqrt{3}} = 3^{\sqrt{3}-1-\sqrt{3}} = 3^{-1} = \frac{1}{3}$

Полученное значение $\frac{1}{3}$ является рациональной дробью, но не натуральным числом (натуральные числа — это 1, 2, 3, ...).

Ответ: нет, не является натуральным числом.