Номер 1.28, страница 15 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.28. Выполните действия, используя свойства степени с действительным показателем:

а) $a^{\sqrt{2}} \cdot a^{1-\sqrt{2}}$;

б) $x^{2\sqrt{3}} : x^{\sqrt{12}}$;

в) $(c^{\sqrt{3}})^{\sqrt{3}}$;

г) $a^{2+\sqrt{2}} : a^{1+\sqrt{2}}$.

а) $a^{\sqrt{2}} \cdot a^{1-\sqrt{2}}$

Для решения этого примера воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием: $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$. В данном случае основание равно $a$, а показатели степеней — $\sqrt{2}$ и $1-\sqrt{2}$.

Складываем показатели:

$a^{\sqrt{2}} \cdot a^{1-\sqrt{2}} = a^{\sqrt{2} + (1-\sqrt{2})} = a^{\sqrt{2} + 1 - \sqrt{2}} = a^1 = a$.

Ответ: $a$.

б) $x^{2\sqrt{3}} : x^{\sqrt{12}}$

Здесь применяется свойство деления степеней с одинаковым основанием: $x^m : x^n = x^{m-n}$.

Сначала упростим показатель степени делителя $\sqrt{12}$:

$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$.

Теперь подставим упрощенное значение в исходное выражение и выполним деление, вычитая показатели:

$x^{2\sqrt{3}} : x^{2\sqrt{3}} = x^{2\sqrt{3} - 2\sqrt{3}} = x^0 = 1$ (при условии, что $x \ne 0$).

Ответ: $1$.

в) $(c^{\sqrt{3}})^{\sqrt{3}}$

Для решения этого примера используем свойство возведения степени в степень: $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.

Перемножаем показатели степеней:

$(c^{\sqrt{3}})^{\sqrt{3}} = c^{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = c^{(\sqrt{3})^2} = c^3$.

Ответ: $c^3$.

г) $a^{2+\sqrt{2}} : a^{1+\sqrt{2}}$

Как и в пункте б), используем свойство деления степеней с одинаковым основанием: $x^m : x^n = x^{m-n}$.

Вычитаем показатели степеней:

$a^{2+\sqrt{2}} : a^{1+\sqrt{2}} = a^{(2+\sqrt{2}) - (1+\sqrt{2})} = a^{2+\sqrt{2}-1-\sqrt{2}} = a^{1} = a$.

Ответ: $a$.