Номер 1.24, страница 15 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.24. Найдите значение выражения $(a^{-\frac{1}{5}} - a^{\frac{4}{5}})(a^{\frac{1}{5}} - a^{-\frac{4}{5}})$ при $a = 10$.

Для нахождения значения выражения $(a^{-\frac{1}{5}} - a^{\frac{4}{5}})(a^{\frac{1}{5}} - a^{-\frac{4}{5}})$ при $a = 10$, сначала упростим его, раскрыв скобки. Для этого умножим каждый член первой скобки на каждый член второй скобки.

$(a^{-\frac{1}{5}} - a^{\frac{4}{5}})(a^{\frac{1}{5}} - a^{-\frac{4}{5}}) = a^{-\frac{1}{5}} \cdot a^{\frac{1}{5}} + a^{-\frac{1}{5}} \cdot (-a^{-\frac{4}{5}}) - a^{\frac{4}{5}} \cdot a^{\frac{1}{5}} - a^{\frac{4}{5}} \cdot (-a^{-\frac{4}{5}})$

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($x^m \cdot x^n = x^{m+n}$), а при делении вычитаются. Также учтем, что любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице ($x^0 = 1$).

Выполним вычисления для каждого члена выражения:

$a^{-\frac{1}{5}} \cdot a^{\frac{1}{5}} = a^{-\frac{1}{5} + \frac{1}{5}} = a^0 = 1$

$a^{-\frac{1}{5}} \cdot (-a^{-\frac{4}{5}}) = -a^{-\frac{1}{5} + (-\frac{4}{5})} = -a^{-\frac{1}{5} - \frac{4}{5}} = -a^{-\frac{5}{5}} = -a^{-1}$

$-a^{\frac{4}{5}} \cdot a^{\frac{1}{5}} = -a^{\frac{4}{5} + \frac{1}{5}} = -a^{\frac{5}{5}} = -a^1 = -a$

$-a^{\frac{4}{5}} \cdot (-a^{-\frac{4}{5}}) = a^{\frac{4}{5} + (-\frac{4}{5})} = a^{\frac{4}{5} - \frac{4}{5}} = a^0 = 1$

Теперь сложим полученные результаты:

$1 - a^{-1} - a + 1 = 2 - a - a^{-1}$

Зная, что $a^{-1} = \frac{1}{a}$, получаем упрощенное выражение:

$2 - a - \frac{1}{a}$

Подставим в это выражение значение $a = 10$:

$2 - 10 - \frac{1}{10} = -8 - 0.1 = -8.1$

Ответ: -8.1