Номер 1.19, страница 14 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.19. Найдите значение выражения:

а) $\frac{x^{\frac{7}{3}} - x^{\frac{1}{3}}}{5x^{\frac{4}{3}}}$ при $x = 4$;

б) $\frac{7\sqrt[5]{a^4}}{a^{2,8} - 3a^{-\frac{1}{5}}}$ при $a = 2$.

a) Сначала упростим выражение $\frac{x^{\frac{7}{3}} - x^{\frac{1}{3}}}{5x^{\frac{4}{3}}}$.
Вынесем в числителе общий множитель $x^{\frac{1}{3}}$ за скобки:
$x^{\frac{7}{3}} - x^{\frac{1}{3}} = x^{\frac{1}{3}}(x^{\frac{7}{3}-\frac{1}{3}} - 1) = x^{\frac{1}{3}}(x^{\frac{6}{3}} - 1) = x^{\frac{1}{3}}(x^2 - 1)$.
Теперь выражение выглядит так:
$\frac{x^{\frac{1}{3}}(x^2 - 1)}{5x^{\frac{4}{3}}}$.
Сократим степени с основанием $x$, используя свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{x^2 - 1}{5} \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{4}{3}}} = \frac{x^2 - 1}{5} \cdot x^{\frac{1}{3}-\frac{4}{3}} = \frac{x^2 - 1}{5} \cdot x^{-1} = \frac{x^2 - 1}{5x}$.
Подставим в упрощенное выражение значение $x = 4$:
$\frac{4^2 - 1}{5 \cdot 4} = \frac{16 - 1}{20} = \frac{15}{20} = \frac{3}{4}$.
Ответ: $\frac{3}{4}$.

б) Упростим выражение $\frac{7\sqrt[5]{a^4}}{a^{2.8} - 3a^{-\frac{1}{5}}}$.
Для этого представим все степени с рациональными показателями: $\sqrt[5]{a^4} = a^{\frac{4}{5}}$ и $a^{2.8} = a^{\frac{28}{10}} = a^{\frac{14}{5}}$.
Выражение примет вид:
$\frac{7a^{\frac{4}{5}}}{a^{\frac{14}{5}} - 3a^{-\frac{1}{5}}}$.
Чтобы упростить знаменатель, умножим числитель и знаменатель дроби на $a^{\frac{1}{5}}$:
$\frac{7a^{\frac{4}{5}} \cdot a^{\frac{1}{5}}}{(a^{\frac{14}{5}} - 3a^{-\frac{1}{5}}) \cdot a^{\frac{1}{5}}} = \frac{7a^{\frac{4}{5}+\frac{1}{5}}}{a^{\frac{14}{5}+\frac{1}{5}} - 3a^{-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}}} = \frac{7a^1}{a^{\frac{15}{5}} - 3a^0} = \frac{7a}{a^3 - 3}$.
Теперь подставим значение $a = 2$ в полученное выражение:
$\frac{7 \cdot 2}{2^3 - 3} = \frac{14}{8 - 3} = \frac{14}{5}$.
Ответ: $\frac{14}{5}$.