Номер 1.25, страница 15 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.25. Упростите выражение

$\left( \frac{3x^{\frac{1}{2}}}{3-x^{\frac{1}{2}}} + 3 \right)\left( 9 - 6x^{\frac{1}{2}} + x \right).$

Для упрощения данного выражения выполним действия по шагам.

1. Упростим выражение в первой скобке, приведя слагаемые к общему знаменателю $ (3 - x^{\frac{1}{2}}) $:

$$ \frac{3x^{\frac{1}{2}}}{3 - x^{\frac{1}{2}}} + 3 = \frac{3x^{\frac{1}{2}}}{3 - x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3(3 - x^{\frac{1}{2}})}{3 - x^{\frac{1}{2}}} = \frac{3x^{\frac{1}{2}} + 9 - 3x^{\frac{1}{2}}}{3 - x^{\frac{1}{2}}} = \frac{9}{3 - x^{\frac{1}{2}}} $$

2. Проанализируем выражение во второй скобке: $ 9 - 6x^{\frac{1}{2}} + x $.

Это выражение представляет собой полный квадрат разности. Воспользуемся формулой квадрата разности $ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $.

Пусть $ a = 3 $ и $ b = x^{\frac{1}{2}} $. Тогда:

$$ (3 - x^{\frac{1}{2}})^2 = 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot x^{\frac{1}{2}} + (x^{\frac{1}{2}})^2 = 9 - 6x^{\frac{1}{2}} + x $$

Выражение совпало, значит, $ 9 - 6x^{\frac{1}{2}} + x = (3 - x^{\frac{1}{2}})^2 $.

3. Подставим упрощенные выражения обратно в исходное произведение:

$$ \left(\frac{9}{3 - x^{\frac{1}{2}}}\right) \cdot (3 - x^{\frac{1}{2}})^2 $$

4. Сократим полученное выражение. При этом необходимо учесть область допустимых значений (ОДЗ): $ x \ge 0 $ (из-за $ x^{\frac{1}{2}} $) и $ 3 - x^{\frac{1}{2}} \ne 0 $, то есть $ x \ne 9 $.

$$ \frac{9 \cdot (3 - x^{\frac{1}{2}})^2}{3 - x^{\frac{1}{2}}} = 9(3 - x^{\frac{1}{2}}) $$

Раскроем скобки:

$$ 9(3 - x^{\frac{1}{2}}) = 27 - 9x^{\frac{1}{2}} $$

Ответ: $ 27 - 9x^{\frac{1}{2}} $