Номер 1.23, страница 15 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.23. Выберите рациональный способ и найдите значение выражения $ \frac{9x - y}{3x + x^{0.5}y^{0.5}} $ при $ x = 100 $, $ y = 576 $.

Рациональный способ решения этой задачи заключается в том, чтобы сначала упростить данное алгебраическое выражение, а затем подставить в него значения переменных.

Исходное выражение:

$$ \frac{9x - y}{3x + x^{0.5}y^{0.5}} $$

Сначала преобразуем выражение, учитывая, что $a^{0.5} = \sqrt{a}$. Также представим $x$ как $(\sqrt{x})^2$ и $y$ как $(\sqrt{y})^2$, поскольку по условию $x > 0$ и $y > 0$.

Рассмотрим числитель. Выражение $9x - y$ является разностью квадратов:

$$ 9x - y = (3\sqrt{x})^2 - (\sqrt{y})^2 $$

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$$ (3\sqrt{x})^2 - (\sqrt{y})^2 = (3\sqrt{x} - \sqrt{y})(3\sqrt{x} + \sqrt{y}) $$

Теперь рассмотрим знаменатель. В выражении $3x + x^{0.5}y^{0.5}$ можно вынести за скобки общий множитель.

$$ 3x + x^{0.5}y^{0.5} = 3(\sqrt{x})^2 + \sqrt{x}\sqrt{y} $$

Вынесем $\sqrt{x}$ за скобки:

$$ \sqrt{x}(3\sqrt{x} + \sqrt{y}) $$

Теперь подставим преобразованные числитель и знаменатель обратно в исходную дробь:

$$ \frac{(3\sqrt{x} - \sqrt{y})(3\sqrt{x} + \sqrt{y})}{\sqrt{x}(3\sqrt{x} + \sqrt{y})} $$

Можно сократить дробь на общий множитель $(3\sqrt{x} + \sqrt{y})$, так как он не равен нулю при заданных положительных значениях $x$ и $y$:

$$ \frac{3\sqrt{x} - \sqrt{y}}{\sqrt{x}} $$

Это выражение можно представить в виде:

$$ \frac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}} - \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}} = 3 - \sqrt{\frac{y}{x}} $$

Теперь, когда выражение максимально упрощено, подставим в него заданные значения $x = 100$ и $y = 576$.

$$ 3 - \sqrt{\frac{576}{100}} $$

Вычислим значение подкоренного выражения:

$$ 3 - \frac{\sqrt{576}}{\sqrt{100}} = 3 - \frac{24}{10} $$

Произведем вычитание:

$$ 3 - 2.4 = 0.6 $$

Ответ: 0.6