Номер 1.27, страница 15 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.27. Упростите выражение

$\left( \frac{a^2 - b^2}{\frac{3}{a^2} + ab^2} - \frac{a - b}{\frac{1}{a^2} + b^2} \right) : \left(\frac{a}{b}\right)^{-1}$.

Для упрощения данного выражения выполним действия по порядку, определив область допустимых значений: $a > 0$, $b > 0$.

1. Упростим выражение в скобках: $ \left( \frac{a^2 - b^2}{a^{\frac{3}{2}} + ab^{\frac{1}{2}}} - \frac{a-b}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}} \right) $

Сначала преобразуем каждую дробь по отдельности.

Рассмотрим первую дробь: $ \frac{a^2 - b^2}{a^{\frac{3}{2}} + ab^{\frac{1}{2}}} $.

Разложим числитель на множители по формуле разности квадратов $ x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) $:

$ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $.

В знаменателе вынесем общий множитель $a$ за скобки:

$ a^{\frac{3}{2}} + ab^{\frac{1}{2}} = a \cdot a^{\frac{1}{2}} + a \cdot b^{\frac{1}{2}} = a(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}) $.

Дробь принимает вид: $ \frac{(a-b)(a+b)}{a(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})} $.

Теперь разложим выражение $ a-b $ как разность квадратов, используя то, что $ a = (a^{\frac{1}{2}})^2 $ и $ b = (b^{\frac{1}{2}})^2 $:

$ a-b = (a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}) $.

Подставим это в числитель первой дроби:

$ \frac{(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})(a+b)}{a(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})} $.

Сократим общий множитель $ (a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}) $ в числителе и знаменателе:

$ \frac{(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a+b)}{a} $.

Рассмотрим вторую дробь: $ \frac{a-b}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}} $.

Аналогично разложим числитель $ a-b $:

$ \frac{(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}} $.

Сократим общий множитель $ (a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}) $:

$ a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}} $.

Теперь выполним вычитание в скобках:

$ \frac{(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a+b)}{a} - (a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}) $.

Вынесем общий множитель $ (a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}) $ за скобки:

$ (a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}) \left( \frac{a+b}{a} - 1 \right) $.

Упростим выражение во вторых скобках:

$ \frac{a+b}{a} - 1 = \frac{a+b}{a} - \frac{a}{a} = \frac{a+b-a}{a} = \frac{b}{a} $.

Таким образом, выражение в больших скобках равно:

$ (a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}) \cdot \frac{b}{a} $.

2. Упростим делитель: $ \left( \frac{a}{b} \right)^{-1} $

Используя свойство степени $ (x/y)^{-n} = (y/x)^n $, получаем:

$ \left( \frac{a}{b} \right)^{-1} = \frac{b}{a} $.

3. Выполним деление

Разделим результат шага 1 на результат шага 2:

$ \left( (a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}) \cdot \frac{b}{a} \right) : \left( \frac{b}{a} \right) $.

Деление на выражение равносильно умножению на обратное ему:

$ (a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}) \cdot \frac{b}{a} \cdot \frac{a}{b} $.

Сокращаем $ \frac{b}{a} $ и $ \frac{a}{b} $:

$ a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}} $.

Это выражение также можно записать в виде $ \sqrt{a} - \sqrt{b} $.

Ответ: $a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}$.