Номер 1.34, страница 16 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.34*. Упростите выражение

$\left( \frac{a^{\frac{\sqrt{7}}{2}} - b^{\frac{\sqrt{7}}{2}}}{a^{\frac{\sqrt{7}}{4}} \cdot b + b^{\frac{\sqrt{7}}{4}} + 1} + \frac{b^{\frac{\sqrt{7}}{2}} - 1}{b^{0,25\sqrt{7}} + a^{0,25\sqrt{7}}} \right) : \left( \frac{a^{\frac{\sqrt{7}}{4}} + b^{\frac{\sqrt{7}}{4}}}{a^{-0,5\sqrt{7}}} \right)^{-1}.$

Для упрощения данного выражения введем замену, чтобы сделать его более наглядным. Пусть $k = \frac{\sqrt{7}}{4}$. Тогда:

• $\frac{\sqrt{7}}{2} = 2k$
• $0,25\sqrt{7} = \frac{1}{4}\sqrt{7} = k$
• $-0,5\sqrt{7} = -\frac{1}{2}\sqrt{7} = -2k$

Перепишем исходное выражение с новой переменной $k$:

$\left( \frac{a^{2k} - b^{2k}}{a^{k} \cdot b + b^{k+1}} + \frac{b^{2k} - 1}{b^{k} + a^{k}} \right) : \left( \frac{a^{k} + b^{k}}{a^{-2k}} \right)^{-1}$

Упростим выражение по действиям.

1. Упростим первую дробь в скобках.

Знаменатель первой дроби: $a^k b + b^{k+1} = a^k b + b^k b = b(a^k + b^k)$.

Числитель первой дроби является разностью квадратов: $a^{2k} - b^{2k} = (a^k)^2 - (b^k)^2 = (a^k - b^k)(a^k + b^k)$.

Тогда первая дробь равна:

$\frac{a^{2k} - b^{2k}}{a^{k} b + b^{k+1}} = \frac{(a^k - b^k)(a^k + b^k)}{b(a^k + b^k)} = \frac{a^k - b^k}{b}$

2. Вычислим сумму в скобках.

Теперь сложим результат первого действия со второй дробью:

$\frac{a^k - b^k}{b} + \frac{b^{2k} - 1}{a^k + b^k}$

Приведем дроби к общему знаменателю $b(a^k + b^k)$:

$\frac{(a^k - b^k)(a^k + b^k)}{b(a^k + b^k)} + \frac{b(b^{2k} - 1)}{b(a^k + b^k)} = \frac{a^{2k} - b^{2k} + b \cdot b^{2k} - b \cdot 1}{b(a^k + b^k)} = \frac{a^{2k} - b^{2k} + b^{2k+1} - b}{b(a^k + b^k)}$

3. Упростим делитель.

Выражение, на которое мы делим, стоит в степени $-1$. Это означает, что мы должны умножить на него без этой степени.

$\left( \frac{a^{k} + b^{k}}{a^{-2k}} \right)^{-1} \implies$ деление на это выражение эквивалентно умножению на $\frac{a^k + b^k}{a^{-2k}}$.

Упростим множитель:

$\frac{a^k + b^k}{a^{-2k}} = (a^k + b^k) \cdot a^{2k} = a^{2k}(a^k + b^k)$

4. Выполним финальное действие.

Теперь умножим результат из шага 2 на результат из шага 3:

$\frac{a^{2k} - b^{2k} + b^{2k+1} - b}{b(a^k + b^k)} \cdot a^{2k}(a^k + b^k)$

Сократим общий множитель $(a^k + b^k)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{a^{2k} - b^{2k} + b^{2k+1} - b}{b} \cdot a^{2k}$

5. Подставим исходное значение $k$.

Вспомним, что $k = \frac{\sqrt{7}}{4}$, а $2k = \frac{\sqrt{7}}{2}$. Подставим эти значения обратно в выражение:

$\frac{a^{\frac{\sqrt{7}}{2}} - b^{\frac{\sqrt{7}}{2}} + b^{2\frac{\sqrt{7}}{4}+1} - b}{b} \cdot a^{\frac{\sqrt{7}}{2}} = \frac{a^{\frac{\sqrt{7}}{2}} - b^{\frac{\sqrt{7}}{2}} + b^{\frac{\sqrt{7}}{2}+1} - b}{b} \cdot a^{\frac{\sqrt{7}}{2}}$

Раскроем скобки для получения окончательного вида:

$\frac{a^{\frac{\sqrt{7}}{2}} \left( a^{\frac{\sqrt{7}}{2}} - b^{\frac{\sqrt{7}}{2}} + b^{\frac{\sqrt{7}}{2}+1} - b \right)}{b} = \frac{a^{\sqrt{7}} - a^{\frac{\sqrt{7}}{2}}b^{\frac{\sqrt{7}}{2}} + a^{\frac{\sqrt{7}}{2}}b^{\frac{\sqrt{7}}{2}+1} - a^{\frac{\sqrt{7}}{2}}b}{b}$

Это и есть упрощенное выражение. Хотя результат не является простым, он получен путем корректного выполнения всех алгебраических операций над исходным выражением.

Ответ: $\frac{a^{2k}(a^{2k} - b^{2k} + b^{2k+1} - b)}{b}$, где $k = \frac{\sqrt{7}}{4}$, или в развернутом виде $\frac{a^{\frac{\sqrt{7}}{2}}(a^{\frac{\sqrt{7}}{2}} - b^{\frac{\sqrt{7}}{2}} + b^{\frac{\sqrt{7}}{2}+1} - b)}{b}$.