Номер 1.30, страница 16 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.30. Сократите дробь:

а) $ \frac{a^{2\sqrt{2}} - 49}{a^{\sqrt{2}} - 7} $

б) $ \frac{a^{\sqrt{5}} + b^{\sqrt{7}}}{a^{2\sqrt{5}} - b^{2\sqrt{7}}} $

В) $ \frac{a^{2\sqrt{3}} - 2a^{\sqrt{3}} + \sqrt{2} + a^{2\sqrt{2}}}{a^{2\sqrt{2}} - a^{2\sqrt{3}}} $

a)

Исходная дробь: $\frac{a^{2\sqrt{2}} - 49}{a^{\sqrt{2}} - 7}$.

Числитель дроби является разностью квадратов. Применим формулу $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

В данном случае $x = a^{\sqrt{2}}$ и $y = 7$, поскольку $a^{2\sqrt{2}} = (a^{\sqrt{2}})^2$ и $49 = 7^2$.

Разложим числитель на множители:

$a^{2\sqrt{2}} - 49 = (a^{\sqrt{2}})^2 - 7^2 = (a^{\sqrt{2}} - 7)(a^{\sqrt{2}} + 7)$.

Подставим полученное выражение обратно в дробь:

$\frac{(a^{\sqrt{2}} - 7)(a^{\sqrt{2}} + 7)}{a^{\sqrt{2}} - 7}$.

Сократим общий множитель $(a^{\sqrt{2}} - 7)$ в числителе и знаменателе, при условии $a^{\sqrt{2}} - 7 \neq 0$.

В результате получаем:

$a^{\sqrt{2}} + 7$.

Ответ: $a^{\sqrt{2}} + 7$.

б)

Исходная дробь: $\frac{a^{\sqrt{5}} + b^{\sqrt{7}}}{a^{2\sqrt{5}} - b^{2\sqrt{7}}}$.

Знаменатель дроби является разностью квадратов. Применим формулу $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

В данном случае $x = a^{\sqrt{5}}$ и $y = b^{\sqrt{7}}$, поскольку $a^{2\sqrt{5}} = (a^{\sqrt{5}})^2$ и $b^{2\sqrt{7}} = (b^{\sqrt{7}})^2$.

Разложим знаменатель на множители:

$a^{2\sqrt{5}} - b^{2\sqrt{7}} = (a^{\sqrt{5}} - b^{\sqrt{7}})(a^{\sqrt{5}} + b^{\sqrt{7}})$.

Подставим полученное выражение в знаменатель дроби:

$\frac{a^{\sqrt{5}} + b^{\sqrt{7}}}{(a^{\sqrt{5}} - b^{\sqrt{7}})(a^{\sqrt{5}} + b^{\sqrt{7}})}$.

Сократим общий множитель $(a^{\sqrt{5}} + b^{\sqrt{7}})$ в числителе и знаменателе, при условии $a^{\sqrt{5}} + b^{\sqrt{7}} \neq 0$.

В результате получаем:

$\frac{1}{a^{\sqrt{5}} - b^{\sqrt{7}}}$.

Ответ: $\frac{1}{a^{\sqrt{5}} - b^{\sqrt{7}}}$.

в)

Исходная дробь: $\frac{a^{2\sqrt{3}} - 2a^{\sqrt{3}+\sqrt{2}} + a^{2\sqrt{2}}}{a^{2\sqrt{2}} - a^{2\sqrt{3}}}$.

Рассмотрим числитель. Он представляет собой полный квадрат разности по формуле $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. Здесь $x=a^{\sqrt{3}}$ и $y=a^{\sqrt{2}}$. Проверим: $x^2 = (a^{\sqrt{3}})^2 = a^{2\sqrt{3}}$, $y^2 = (a^{\sqrt{2}})^2 = a^{2\sqrt{2}}$, $2xy = 2a^{\sqrt{3}}a^{\sqrt{2}} = 2a^{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$. Таким образом, числитель равен $(a^{\sqrt{3}} - a^{\sqrt{2}})^2$.

Рассмотрим знаменатель. Он является разностью квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, где $x = a^{\sqrt{2}}$ и $y = a^{\sqrt{3}}$. Таким образом, знаменатель равен $(a^{\sqrt{2}} - a^{\sqrt{3}})(a^{\sqrt{2}} + a^{\sqrt{3}})$.

Подставим преобразованные выражения в дробь:

$\frac{(a^{\sqrt{3}} - a^{\sqrt{2}})^2}{(a^{\sqrt{2}} - a^{\sqrt{3}})(a^{\sqrt{2}} + a^{\sqrt{3}})}$.

Заметим, что $(a^{\sqrt{3}} - a^{\sqrt{2}})^2 = (-(a^{\sqrt{2}} - a^{\sqrt{3}}))^2 = (a^{\sqrt{2}} - a^{\sqrt{3}})^2$. Перепишем дробь в новом виде:

$\frac{(a^{\sqrt{2}} - a^{\sqrt{3}})^2}{(a^{\sqrt{2}} - a^{\sqrt{3}})(a^{\sqrt{2}} + a^{\sqrt{3}})}$.

Сократим общий множитель $(a^{\sqrt{2}} - a^{\sqrt{3}})$ в числителе и знаменателе, при условии, что он не равен нулю.

В результате получаем:

$\frac{a^{\sqrt{2}} - a^{\sqrt{3}}}{a^{\sqrt{2}} + a^{\sqrt{3}}}$.

Ответ: $\frac{a^{\sqrt{2}} - a^{\sqrt{3}}}{a^{\sqrt{2}} + a^{\sqrt{3}}}$.