Номер 1.14, страница 13 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.14. Упростите выражение $ \left(\left(\frac{a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{9}}}\right)^{-9}\right)^{\frac{1}{4}} $ и найдите его значение при

$a = 0,25$.

Упростите выражение

Исходное выражение: $\left(\left(\frac{a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{9}}}\right)^{-9}\right)^{\frac{1}{4}}$.

Для упрощения будем последовательно применять свойства степеней.

1. Упростим выражение в самых внутренних скобках, используя правило деления степеней с одинаковым основанием $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$:

$\frac{a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{9}}} = a^{\frac{1}{3} - \frac{1}{9}}$

Чтобы вычесть дроби в показателе, приведем их к общему знаменателю:

$\frac{1}{3} - \frac{1}{9} = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3} - \frac{1}{9} = \frac{3}{9} - \frac{1}{9} = \frac{2}{9}$

Таким образом, $\frac{a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{9}}} = a^{\frac{2}{9}}$.

2. Подставим полученный результат обратно в исходное выражение:

$\left(\left(a^{\frac{2}{9}}\right)^{-9}\right)^{\frac{1}{4}}$

3. Теперь воспользуемся правилом возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$. Применим его дважды.

Сначала для внутренней части:

$\left(a^{\frac{2}{9}}\right)^{-9} = a^{\frac{2}{9} \cdot (-9)} = a^{-2}$

Теперь для всего выражения:

$(a^{-2})^{\frac{1}{4}} = a^{-2 \cdot \frac{1}{4}} = a^{-\frac{2}{4}} = a^{-\frac{1}{2}}$

Итак, упрощенное выражение равно $a^{-\frac{1}{2}}$.

Найдите его значение при $a = 0,25$

Теперь необходимо найти значение выражения $a^{-\frac{1}{2}}$ при $a = 0,25$.

1. Подставим значение $a$ в упрощенное выражение:

$(0,25)^{-\frac{1}{2}}$

2. Для удобства вычислений представим десятичную дробь $0,25$ в виде обыкновенной:

$0,25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$

3. Выполним вычисление:

$\left(\frac{1}{4}\right)^{-\frac{1}{2}}$

Используя свойство степени с отрицательным показателем $(\frac{x}{y})^{-n} = (\frac{y}{x})^n$, получим:

$\left(\frac{1}{4}\right)^{-\frac{1}{2}} = \left(\frac{4}{1}\right)^{\frac{1}{2}} = 4^{\frac{1}{2}}$

4. Степень с показателем $\frac{1}{2}$ эквивалентна квадратному корню:

$4^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4} = 2$

Ответ: 2