Номер 1.8, страница 12 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.8. Представьте выражение в виде степени:

a) $a^{\frac{1}{3}} \cdot a^{\frac{1}{4}};$

б) $x^{0.25} \cdot x^{\frac{1}{7}} \cdot x^{-\frac{1}{14}};$

в) $c^{\frac{1}{6}} \cdot c^{-\frac{5}{9}} : c^{-\frac{3}{4}};$

г) $(y^{\frac{4}{7}})^{0.7} \cdot y;$

д) $(b^{-0.3})^{\frac{5}{3}} : b^2;$

е) $b^{-2.5} : b^{3.5} \cdot (b^{\frac{1}{4}})^{-8}$.

а) Чтобы представить выражение в виде степени, воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Для этого нужно сложить показатели степеней.

$a^{\frac{1}{3}} \cdot a^{\frac{1}{4}} = a^{\frac{1}{3} + \frac{1}{4}}$

Приводим дроби к общему знаменателю 12:

$\frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12}$

Таким образом, выражение равно:

$a^{\frac{7}{12}}$

Ответ: $a^{\frac{7}{12}}$

б) Применим свойство умножения степеней с одинаковым основанием $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$. Сначала преобразуем десятичную дробь $0.25$ в обыкновенную: $0.25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$.

$x^{0.25} \cdot x^{\frac{1}{7}} \cdot x^{-\frac{1}{14}} = x^{\frac{1}{4}} \cdot x^{\frac{1}{7}} \cdot x^{-\frac{1}{14}} = x^{\frac{1}{4} + \frac{1}{7} + (-\frac{1}{14})} = x^{\frac{1}{4} + \frac{1}{7} - \frac{1}{14}}$

Приводим дроби в показателе к общему знаменателю 28:

$\frac{1}{4} + \frac{1}{7} - \frac{1}{14} = \frac{7}{28} + \frac{4}{28} - \frac{2}{28} = \frac{7+4-2}{28} = \frac{9}{28}$

В результате получаем:

$x^{\frac{9}{28}}$

Ответ: $x^{\frac{9}{28}}$

в) Используем свойства умножения и деления степеней с одинаковым основанием: $c^m \cdot c^n = c^{m+n}$ и $c^m : c^n = c^{m-n}$.

$c^{\frac{1}{6}} \cdot c^{-\frac{5}{9}} : c^{-\frac{3}{4}} = c^{\frac{1}{6} + (-\frac{5}{9}) - (-\frac{3}{4})} = c^{\frac{1}{6} - \frac{5}{9} + \frac{3}{4}}$

Приводим дроби в показателе к общему знаменателю 36:

$\frac{1}{6} - \frac{5}{9} + \frac{3}{4} = \frac{6}{36} - \frac{20}{36} + \frac{27}{36} = \frac{6 - 20 + 27}{36} = \frac{13}{36}$

Следовательно, итоговое выражение:

$c^{\frac{13}{36}}$

Ответ: $c^{\frac{13}{36}}$

г) Сначала используем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, а затем свойство умножения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

Преобразуем $0.7$ в обыкновенную дробь: $0.7 = \frac{7}{10}$. Также учтем, что $y=y^1$.

$(y^{\frac{4}{7}})^{0.7} \cdot y = y^{\frac{4}{7} \cdot 0.7} \cdot y^1 = y^{\frac{4}{7} \cdot \frac{7}{10}} \cdot y^1 = y^{\frac{4}{10}} \cdot y^1 = y^{\frac{2}{5}} \cdot y^1$

Теперь складываем показатели:

$y^{\frac{2}{5} + 1} = y^{\frac{2}{5} + \frac{5}{5}} = y^{\frac{7}{5}}$

Ответ: $y^{\frac{7}{5}}$

д) Используем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, а затем свойство деления степеней $a^m : a^n = a^{m-n}$.

Преобразуем показатели в обыкновенные дроби: $-0.3 = -\frac{3}{10}$ и $1\frac{2}{3} = \frac{5}{3}$.

$(b^{-0.3})^{1\frac{2}{3}} : b^2 = b^{-0.3 \cdot 1\frac{2}{3}} : b^2 = b^{-\frac{3}{10} \cdot \frac{5}{3}} : b^2 = b^{-\frac{15}{30}} : b^2 = b^{-\frac{1}{2}} : b^2$

Теперь вычитаем показатели:

$b^{-\frac{1}{2} - 2} = b^{-0.5 - 2} = b^{-2.5}$

Ответ: $b^{-2.5}$

е) Выполним действия по порядку, используя свойства степеней. Порядок действий: возведение в степень, затем деление и умножение слева направо.

1. Возводим степень в степень: $(b^{\frac{1}{4}})^{-8} = b^{\frac{1}{4} \cdot (-8)} = b^{-2}$.

Выражение принимает вид: $b^{-2.5} : b^{3.5} \cdot b^{-2}$.

2. Выполняем деление: $b^{-2.5} : b^{3.5} = b^{-2.5 - 3.5} = b^{-6}$.

3. Выполняем умножение: $b^{-6} \cdot b^{-2} = b^{-6 + (-2)} = b^{-8}$.

Ответ: $b^{-8}$