Номер 1.3, страница 4 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.3. Избавьтесь от иррациональности: $(\sqrt{b} - \sqrt{a})(\sqrt[4]{b} - \sqrt[4]{a})(\sqrt[4]{b} + \sqrt[4]{a})$.

1.3.

Для того чтобы упростить выражение $(\sqrt{b} - \sqrt{a})(\sqrt[4]{b} - \sqrt[4]{a})(\sqrt[4]{b} + \sqrt[4]{a})$ и по возможности избавиться от иррациональности, выполним следующие действия.

Сначала сгруппируем и упростим произведение последних двух множителей: $(\sqrt[4]{b} - \sqrt[4]{a})(\sqrt[4]{b} + \sqrt[4]{a})$.

Применим формулу сокращенного умножения для разности квадратов: $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$.

В нашем случае, $x = \sqrt[4]{b}$ и $y = \sqrt[4]{a}$. Применяя формулу, получаем:

$(\sqrt[4]{b} - \sqrt[4]{a})(\sqrt[4]{b} + \sqrt[4]{a}) = (\sqrt[4]{b})^2 - (\sqrt[4]{a})^2$.

Так как $(\sqrt[4]{k})^2 = k^{2/4} = k^{1/2} = \sqrt{k}$, то выражение упрощается до:

$\sqrt{b} - \sqrt{a}$.

Теперь подставим полученный результат обратно в исходное выражение:

$(\sqrt{b} - \sqrt{a})(\sqrt{b} - \sqrt{a}) = (\sqrt{b} - \sqrt{a})^2$.

Далее, используем формулу квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

Применительно к нашему выражению, где $x = \sqrt{b}$ и $y = \sqrt{a}$:

$(\sqrt{b} - \sqrt{a})^2 = (\sqrt{b})^2 - 2\sqrt{b}\sqrt{a} + (\sqrt{a})^2$.

После окончательного упрощения получаем:

$b - 2\sqrt{ab} + a$.

Таким образом, итоговое выражение равно $a + b - 2\sqrt{ab}$. Хотя выражение упрощено, полностью избавиться от иррациональности (члена с корнем) в общем случае не удается.

Ответ: $a + b - 2\sqrt{ab}$