Номер вопрос 2, страница 12 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2. Представьте выражение $a$ в виде степени с показателем:

а) $2$;

б) $\frac{1}{2}$;

в) $3$;

г) $\frac{1}{3}$.

а) 2;
Требуется найти такое выражение, назовем его $X$, чтобы при возведении его в степень 2 получилось $a$. Это можно записать в виде уравнения: $X^2 = a$.
Чтобы найти $X$, необходимо извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения:
$X = \sqrt{a}$
По определению степени с рациональным показателем, квадратный корень можно записать как степень $\frac{1}{2}$:
$X = a^{\frac{1}{2}}$
Проверим полученный результат: $(a^{\frac{1}{2}})^2 = a^{\frac{1}{2} \cdot 2} = a^1 = a$.
Ответ: $a^{\frac{1}{2}}$

б) $\frac{1}{2}$;
Требуется найти такое выражение $X$, чтобы при возведении его в степень $\frac{1}{2}$ получилось $a$. Запишем это в виде уравнения: $X^{\frac{1}{2}} = a$.
Чтобы найти $X$, необходимо возвести обе части уравнения в квадрат:
$(X^{\frac{1}{2}})^2 = a^2$
Используя свойство возведения степени в степень, получаем:
$X^{\frac{1}{2} \cdot 2} = a^2$
$X^1 = a^2$
$X = a^2$
Проверим полученный результат: $(a^2)^{\frac{1}{2}} = a^{2 \cdot \frac{1}{2}} = a^1 = a$.
Ответ: $a^2$

в) 3;
Требуется найти такое выражение $X$, чтобы при возведении его в степень 3 получилось $a$. Запишем это в виде уравнения: $X^3 = a$.
Чтобы найти $X$, необходимо извлечь кубический корень из обеих частей уравнения:
$X = \sqrt[3]{a}$
По определению степени с рациональным показателем, кубический корень можно записать как степень $\frac{1}{3}$:
$X = a^{\frac{1}{3}}$
Проверим полученный результат: $(a^{\frac{1}{3}})^3 = a^{\frac{1}{3} \cdot 3} = a^1 = a$.
Ответ: $a^{\frac{1}{3}}$

г) $\frac{1}{3}$.
Требуется найти такое выражение $X$, чтобы при возведении его в степень $\frac{1}{3}$ получилось $a$. Запишем это в виде уравнения: $X^{\frac{1}{3}} = a$.
Чтобы найти $X$, необходимо возвести обе части уравнения в куб:
$(X^{\frac{1}{3}})^3 = a^3$
Используя свойство возведения степени в степень, получаем:
$X^{\frac{1}{3} \cdot 3} = a^3$
$X^1 = a^3$
$X = a^3$
Проверим полученный результат: $(a^3)^{\frac{1}{3}} = a^{3 \cdot \frac{1}{3}} = a^1 = a$.
Ответ: $a^3$