Номер 1.13, страница 13 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.13. Упростите выражение:

а) $(16x)^{\frac{3}{4}} \cdot \left(\frac{1}{8}x^{\frac{3}{8}}\right)^{-\frac{1}{3}};$

б) $(1000x)^{\frac{2}{3}} \cdot \left(0,01x^{\frac{1}{3}}\right)^{-\frac{1}{2}}.$

а)

Для упрощения выражения $(16x)^{\frac{3}{4}} \cdot (\frac{1}{8}x^8)^{-\frac{1}{3}}$ воспользуемся следующими свойствами степеней:

• Степень произведения: $(ab)^n = a^n b^n$
• Степень степени: $(a^m)^n = a^{mn}$
• Произведение степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$
• Отрицательная степень: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ и $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$

Шаг 1: Раскроем скобки в каждом множителе, применив свойство степени произведения.
$(16x)^{\frac{3}{4}} = 16^{\frac{3}{4}} \cdot x^{\frac{3}{4}}$
$(\frac{1}{8}x^8)^{-\frac{1}{3}} = (\frac{1}{8})^{-\frac{1}{3}} \cdot (x^8)^{-\frac{1}{3}}$

Шаг 2: Упростим числовые коэффициенты.
$16^{\frac{3}{4}} = (2^4)^{\frac{3}{4}} = 2^{4 \cdot \frac{3}{4}} = 2^3 = 8$
$(\frac{1}{8})^{-\frac{1}{3}} = 8^{\frac{1}{3}} = (2^3)^{\frac{1}{3}} = 2^{3 \cdot \frac{1}{3}} = 2^1 = 2$

Шаг 3: Упростим степени переменной $x$, применив свойство степени степени.
$(x^8)^{-\frac{1}{3}} = x^{8 \cdot (-\frac{1}{3})} = x^{-\frac{8}{3}}$

Шаг 4: Соберем все части вместе и выполним умножение.
Выражение принимает вид: $(8 \cdot x^{\frac{3}{4}}) \cdot (2 \cdot x^{-\frac{8}{3}})$.
Сгруппируем коэффициенты и переменные: $(8 \cdot 2) \cdot (x^{\frac{3}{4}} \cdot x^{-\frac{8}{3}})$.
Произведение коэффициентов: $8 \cdot 2 = 16$.
Произведение степеней $x$ (складываем показатели): $x^{\frac{3}{4}} \cdot x^{-\frac{8}{3}} = x^{\frac{3}{4} - \frac{8}{3}} = x^{\frac{3 \cdot 3 - 8 \cdot 4}{12}} = x^{\frac{9 - 32}{12}} = x^{-\frac{23}{12}}$.

Итоговый результат: $16x^{-\frac{23}{12}}$.

Ответ: $16x^{-\frac{23}{12}}$

б)

Упростим выражение $(1000x)^{\frac{2}{3}} \cdot (0,01x^{\frac{1}{3}})^{-\frac{1}{2}}$, используя те же свойства степеней.

Шаг 1: Раскроем скобки.
$(1000x)^{\frac{2}{3}} = 1000^{\frac{2}{3}} \cdot x^{\frac{2}{3}}$
$(0,01x^{\frac{1}{3}})^{-\frac{1}{2}} = (0,01)^{-\frac{1}{2}} \cdot (x^{\frac{1}{3}})^{-\frac{1}{2}}$

Шаг 2: Упростим числовые коэффициенты.
$1000^{\frac{2}{3}} = (10^3)^{\frac{2}{3}} = 10^{3 \cdot \frac{2}{3}} = 10^2 = 100$
$0,01^{-\frac{1}{2}} = (\frac{1}{100})^{-\frac{1}{2}} = 100^{\frac{1}{2}} = \sqrt{100} = 10$

Шаг 3: Упростим степени переменной $x$.
$(x^{\frac{1}{3}})^{-\frac{1}{2}} = x^{\frac{1}{3} \cdot (-\frac{1}{2})} = x^{-\frac{1}{6}}$

Шаг 4: Соберем все части вместе и выполним умножение.
Выражение принимает вид: $(100 \cdot x^{\frac{2}{3}}) \cdot (10 \cdot x^{-\frac{1}{6}})$.
Сгруппируем множители: $(100 \cdot 10) \cdot (x^{\frac{2}{3}} \cdot x^{-\frac{1}{6}})$.
Произведение коэффициентов: $100 \cdot 10 = 1000$.
Произведение степеней $x$: $x^{\frac{2}{3}} \cdot x^{-\frac{1}{6}} = x^{\frac{2}{3} - \frac{1}{6}} = x^{\frac{4}{6} - \frac{1}{6}} = x^{\frac{3}{6}} = x^{\frac{1}{2}}$.

Итоговый результат: $1000x^{\frac{1}{2}}$.

Ответ: $1000x^{\frac{1}{2}}$