Номер 1.50, страница 18 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.50. Разложите на множители числитель и знаменатель дроби и сократите дробь:

а) $\frac{b^{\frac{1}{2}}-7}{b-49}$;

б) $\frac{a^{\frac{1}{4}}+2a^{\frac{1}{8}}b^{\frac{1}{8}}+b^{\frac{1}{4}}}{a^{\frac{7}{8}}b^{\frac{7}{8}}+a^{\frac{8}{8}}b}$;

В) $\frac{a^{\frac{1}{6}}-9b^{\frac{1}{6}}}{a^{\frac{1}{6}}-6a^{\frac{1}{12}}b^{\frac{1}{12}}+9b^{\frac{1}{6}}}$.

Дана дробь $\frac{b^{\frac{1}{2}} - 7}{b - 49}$.

Сначала разложим на множители знаменатель дроби. Выражение $b - 49$ представляет собой разность квадратов, так как $b = (b^{\frac{1}{2}})^2$ и $49 = 7^2$.

Применяя формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$, получаем:

$b - 49 = (b^{\frac{1}{2}})^2 - 7^2 = (b^{\frac{1}{2}} - 7)(b^{\frac{1}{2}} + 7)$.

Теперь подставим разложенный знаменатель в исходную дробь:

$\frac{b^{\frac{1}{2}} - 7}{(b^{\frac{1}{2}} - 7)(b^{\frac{1}{2}} + 7)}$

Сократим общий множитель $(b^{\frac{1}{2}} - 7)$ в числителе и знаменателе. Это возможно при условии, что $b^{\frac{1}{2}} - 7 \neq 0$, то есть $b \neq 49$, что соответствует области определения исходной дроби.

В результате получаем:

$\frac{1}{b^{\frac{1}{2}} + 7}$

Ответ: $\frac{1}{b^{\frac{1}{2}} + 7}$

Дана дробь $\frac{a^{\frac{1}{4}} + 2a^{\frac{1}{8}}b^{\frac{1}{8}} + b^{\frac{1}{4}}}{ab^{\frac{7}{8}} + a^{\frac{7}{8}}b}$.

Разложим на множители числитель: $a^{\frac{1}{4}} + 2a^{\frac{1}{8}}b^{\frac{1}{8}} + b^{\frac{1}{4}}$.

Это выражение является полным квадратом суммы, так как $a^{\frac{1}{4}} = (a^{\frac{1}{8}})^2$ и $b^{\frac{1}{4}} = (b^{\frac{1}{8}})^2$.

Используя формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$, где $x = a^{\frac{1}{8}}$ и $y = b^{\frac{1}{8}}$, получаем:

$a^{\frac{1}{4}} + 2a^{\frac{1}{8}}b^{\frac{1}{8}} + b^{\frac{1}{4}} = (a^{\frac{1}{8}} + b^{\frac{1}{8}})^2$.

Теперь разложим на множители знаменатель: $ab^{\frac{7}{8}} + a^{\frac{7}{8}}b$.

Вынесем за скобки общий множитель $a^{\frac{7}{8}}b^{\frac{7}{8}}$:

$ab^{\frac{7}{8}} + a^{\frac{7}{8}}b = a^{\frac{7}{8}}b^{\frac{7}{8}}(a^{1-\frac{7}{8}} \cdot b^{\frac{7}{8}-\frac{7}{8}} + a^{\frac{7}{8}-\frac{7}{8}} \cdot b^{1-\frac{7}{8}}) = a^{\frac{7}{8}}b^{\frac{7}{8}}(a^{\frac{1}{8}} + b^{\frac{1}{8}})$.

Подставим разложенные числитель и знаменатель в исходную дробь:

$\frac{(a^{\frac{1}{8}} + b^{\frac{1}{8}})^2}{a^{\frac{7}{8}}b^{\frac{7}{8}}(a^{\frac{1}{8}} + b^{\frac{1}{8}})}$

Сократим общий множитель $(a^{\frac{1}{8}} + b^{\frac{1}{8}})$:

$\frac{a^{\frac{1}{8}} + b^{\frac{1}{8}}}{a^{\frac{7}{8}}b^{\frac{7}{8}}}$

Ответ: $\frac{a^{\frac{1}{8}} + b^{\frac{1}{8}}}{a^{\frac{7}{8}}b^{\frac{7}{8}}}$

Дана дробь $\frac{a^{\frac{1}{6}} - 9b^{\frac{1}{6}}}{a^{\frac{1}{6}} - 6a^{\frac{1}{12}}b^{\frac{1}{12}} + 9b^{\frac{1}{6}}}$.

Разложим на множители числитель: $a^{\frac{1}{6}} - 9b^{\frac{1}{6}}$.

Это выражение является разностью квадратов, так как $a^{\frac{1}{6}} = (a^{\frac{1}{12}})^2$ и $9b^{\frac{1}{6}} = (3b^{\frac{1}{12}})^2$.

Используя формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$, где $x = a^{\frac{1}{12}}$ и $y = 3b^{\frac{1}{12}}$, получаем:

$a^{\frac{1}{6}} - 9b^{\frac{1}{6}} = (a^{\frac{1}{12}} - 3b^{\frac{1}{12}})(a^{\frac{1}{12}} + 3b^{\frac{1}{12}})$.

Теперь разложим на множители знаменатель: $a^{\frac{1}{6}} - 6a^{\frac{1}{12}}b^{\frac{1}{12}} + 9b^{\frac{1}{6}}$.

Это выражение является полным квадратом разности. Используя формулу $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$, где $x = a^{\frac{1}{12}}$ и $y = 3b^{\frac{1}{12}}$, получаем:

$a^{\frac{1}{6}} - 6a^{\frac{1}{12}}b^{\frac{1}{12}} + 9b^{\frac{1}{6}} = (a^{\frac{1}{12}})^2 - 2(a^{\frac{1}{12}})(3b^{\frac{1}{12}}) + (3b^{\frac{1}{12}})^2 = (a^{\frac{1}{12}} - 3b^{\frac{1}{12}})^2$.

Подставим разложенные числитель и знаменатель в исходную дробь:

$\frac{(a^{\frac{1}{12}} - 3b^{\frac{1}{12}})(a^{\frac{1}{12}} + 3b^{\frac{1}{12}})}{(a^{\frac{1}{12}} - 3b^{\frac{1}{12}})^2}$

Сократим общий множитель $(a^{\frac{1}{12}} - 3b^{\frac{1}{12}})$:

$\frac{a^{\frac{1}{12}} + 3b^{\frac{1}{12}}}{a^{\frac{1}{12}} - 3b^{\frac{1}{12}}}$

Ответ: $\frac{a^{\frac{1}{12}} + 3b^{\frac{1}{12}}}{a^{\frac{1}{12}} - 3b^{\frac{1}{12}}}$