Номер 1.52, страница 18 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.52. Упростите выражение $ \frac{\sqrt{a}-16\sqrt{b}}{(a^{\frac{1}{8}}+2b^{\frac{1}{8}})^2+(a^{\frac{1}{8}}-2b^{\frac{1}{8}})^2} $ и найдите его значение при $ a=\frac{1}{16}, b=81 $.

Упростите выражение

Исходное выражение:

$$ \frac{\sqrt{a} - 16\sqrt{b}}{(a^{\frac{1}{8}} + 2b^{\frac{1}{8}})^2 + (a^{\frac{1}{8}} - 2b^{\frac{1}{8}})^2} $$

Сначала упростим знаменатель дроби, используя формулы сокращенного умножения: квадрат суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$ и квадрат разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

Раскроем скобки в знаменателе:

$$ (a^{\frac{1}{8}} + 2b^{\frac{1}{8}})^2 + (a^{\frac{1}{8}} - 2b^{\frac{1}{8}})^2 = \left((a^{\frac{1}{8}})^2 + 2 \cdot a^{\frac{1}{8}} \cdot 2b^{\frac{1}{8}} + (2b^{\frac{1}{8}})^2\right) + \left((a^{\frac{1}{8}})^2 - 2 \cdot a^{\frac{1}{8}} \cdot 2b^{\frac{1}{8}} + (2b^{\frac{1}{8}})^2\right) $$

$$ = (a^{\frac{1}{4}} + 4a^{\frac{1}{8}}b^{\frac{1}{8}} + 4b^{\frac{1}{4}}) + (a^{\frac{1}{4}} - 4a^{\frac{1}{8}}b^{\frac{1}{8}} + 4b^{\frac{1}{4}}) $$

Приведем подобные слагаемые. Члены $4a^{\frac{1}{8}}b^{\frac{1}{8}}$ и $-4a^{\frac{1}{8}}b^{\frac{1}{8}}$ взаимно уничтожаются:

$$ a^{\frac{1}{4}} + 4b^{\frac{1}{4}} + a^{\frac{1}{4}} + 4b^{\frac{1}{4}} = 2a^{\frac{1}{4}} + 8b^{\frac{1}{4}} = 2(a^{\frac{1}{4}} + 4b^{\frac{1}{4}}) $$

Теперь упростим числитель. Используем формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$.

$$ \sqrt{a} - 16\sqrt{b} = a^{\frac{1}{2}} - 16b^{\frac{1}{2}} = (a^{\frac{1}{4}})^2 - (4b^{\frac{1}{4}})^2 = (a^{\frac{1}{4}} - 4b^{\frac{1}{4}})(a^{\frac{1}{4}} + 4b^{\frac{1}{4}}) $$

Подставим упрощенные числитель и знаменатель в исходное выражение:

$$ \frac{(a^{\frac{1}{4}} - 4b^{\frac{1}{4}})(a^{\frac{1}{4}} + 4b^{\frac{1}{4}})}{2(a^{\frac{1}{4}} + 4b^{\frac{1}{4}})} $$

Сократим дробь на общий множитель $(a^{\frac{1}{4}} + 4b^{\frac{1}{4}})$:

$$ \frac{a^{\frac{1}{4}} - 4b^{\frac{1}{4}}}{2} $$

Таким образом, упрощенное выражение имеет вид $ \frac{\sqrt[4]{a} - 4\sqrt[4]{b}}{2} $.

Найдите его значение при $a = \frac{1}{16}$, $b = 81$

Подставим заданные значения $a$ и $b$ в полученное упрощенное выражение.

Сначала вычислим значения $a^{\frac{1}{4}}$ и $b^{\frac{1}{4}}$:

$$ a^{\frac{1}{4}} = \left(\frac{1}{16}\right)^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{\frac{1}{16}} = \frac{1}{2} $$

$$ b^{\frac{1}{4}} = (81)^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{81} = 3 $$

Теперь подставим эти числовые значения в выражение:

$$ \frac{\frac{1}{2} - 4 \cdot 3}{2} = \frac{\frac{1}{2} - 12}{2} = \frac{\frac{1}{2} - \frac{24}{2}}{2} = \frac{-\frac{23}{2}}{2} = -\frac{23}{4} $$

Значение выражения равно $-\frac{23}{4}$, что в виде десятичной дроби составляет $-5.75$.

Ответ: $-5.75$