Номер 1.62, страница 20 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.62. Можно ли определить знак выражения $ \text{tg} \alpha $, если известно, что

$ \alpha $ — угол четвертой четверти?

Определите знак выражения:

a) $ \frac{\cos 200^\circ \cdot \text{tg} 300^\circ}{\sin 400^\circ} $;

б) $ \cos 2 \cdot \text{tg} 4 $.

Да, можно однозначно определить знак выражения $tg \alpha$, если известно, что $\alpha$ — угол четвертой четверти.

Тригонометрическая окружность делится на четыре четверти. Четвертая четверть соответствует углам в диапазоне от $270^\circ$ до $360^\circ$ (или от $\frac{3\pi}{2}$ до $2\pi$ радиан).

Тангенс угла определяется по формуле $tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$. Чтобы найти его знак, нужно определить знаки синуса и косинуса в указанной четверти.

В четвертой четверти:
- Синус ($\sin \alpha$), который соответствует координате y на единичной окружности, является отрицательным.
- Косинус ($\cos \alpha$), который соответствует координате x, является положительным.

Следовательно, знак тангенса будет результатом деления отрицательного числа на положительное: $tg \alpha = \frac{(-)}{(+)} = (-)$.

Таким образом, если $\alpha$ — угол четвертой четверти, то $tg \alpha$ всегда имеет отрицательный знак.

а) $\frac{\cos200^\circ \cdot \tg300^\circ}{\sin400^\circ}$

Чтобы определить знак всего выражения, найдем знак каждого из его компонентов.

1. Знак $\cos200^\circ$: Угол $200^\circ$ находится в третьей четверти, так как $180^\circ < 200^\circ < 270^\circ$. В третьей четверти косинус отрицателен. Следовательно, $\cos200^\circ < 0$.

2. Знак $\tg300^\circ$: Угол $300^\circ$ находится в четвертой четверти, так как $270^\circ < 300^\circ < 360^\circ$. В четвертой четверти тангенс отрицателен. Следовательно, $\tg300^\circ < 0$.

3. Знак $\sin400^\circ$: Угол $400^\circ$ можно представить как $400^\circ = 360^\circ + 40^\circ$. Это означает, что он находится в той же позиции на тригонометрической окружности, что и угол $40^\circ$. Угол $40^\circ$ принадлежит первой четверти ($0^\circ < 40^\circ < 90^\circ$), где синус положителен. Следовательно, $\sin400^\circ > 0$.

Теперь подставим знаки в исходное выражение: $\frac{\cos200^\circ \cdot \tg300^\circ}{\sin400^\circ} \rightarrow \frac{(-) \cdot (-)}{(+)} = \frac{(+)}{(+)} = (+)$.

Выражение имеет положительный знак.

Ответ: знак плюс (+).

б) $\cos2 \cdot \tg4$

В этом выражении углы заданы в радианах, так как отсутствует знак градуса ($^\circ$). Для определения четверти, в которой находятся углы, используем приближенное значение числа $\pi \approx 3.14159$.

Границы четвертей в радианах:
I четверть: от $0$ до $\pi/2 \approx 1.57$
II четверть: от $\pi/2 \approx 1.57$ до $\pi \approx 3.14$
III четверть: от $\pi \approx 3.14$ до $3\pi/2 \approx 4.71$
IV четверть: от $3\pi/2 \approx 4.71$ до $2\pi \approx 6.28$

1. Знак $\cos2$: Так как $\pi/2 < 2 < \pi$ (т.е. $1.57 < 2 < 3.14$), угол в 2 радиана находится во второй четверти. Во второй четверти косинус отрицателен. Следовательно, $\cos2 < 0$.

2. Знак $\tg4$: Так как $\pi < 4 < 3\pi/2$ (т.е. $3.14 < 4 < 4.71$), угол в 4 радиана находится в третьей четверти. В третьей четверти и синус, и косинус отрицательны, поэтому их отношение — тангенс — положителен. Следовательно, $\tg4 > 0$.

Теперь определим знак всего произведения: $\cos2 \cdot \tg4 \rightarrow (-) \cdot (+) = (-)$.

Выражение имеет отрицательный знак.

Ответ: знак минус (–).