Номер 1.67, страница 20 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.67. В арифметической прогрессии $-63; -58; \dots$ найдите сумму всех ее отрицательных членов.

Для решения задачи нам нужно выполнить три шага: найти разность арифметической прогрессии, определить количество ее отрицательных членов, а затем вычислить их сумму.

Дано: арифметическая прогрессия $(a_n)$, где первый член $a_1 = -63$ и второй член $a_2 = -58$.

1. Найдём разность арифметической прогрессии

Разность прогрессии $d$ вычисляется по формуле $d = a_{n+1} - a_n$.

$d = a_2 - a_1 = -58 - (-63) = -58 + 63 = 5$.

2. Определим количество отрицательных членов

Нам необходимо найти, сколько членов прогрессии меньше нуля. Для этого воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$ и решим неравенство $a_n < 0$.

$-63 + (n-1) \cdot 5 < 0$

Решаем неравенство относительно $n$:

$5(n-1) < 63$

$n - 1 < \frac{63}{5}$

$n - 1 < 12.6$

$n < 13.6$

Поскольку номер члена прогрессии $n$ является натуральным числом, то наибольшее целое значение $n$, удовлетворяющее этому неравенству, равно 13. Следовательно, в данной прогрессии 13 отрицательных членов (с первого по тринадцатый).

3. Найдём сумму всех отрицательных членов

Теперь нужно вычислить сумму первых 13 членов прогрессии ($S_{13}$). Воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

Подставим известные значения $a_1 = -63$, $d = 5$ и $n = 13$:

$S_{13} = \frac{2 \cdot (-63) + 5 \cdot (13-1)}{2} \cdot 13$

$S_{13} = \frac{-126 + 5 \cdot 12}{2} \cdot 13$

$S_{13} = \frac{-126 + 60}{2} \cdot 13$

$S_{13} = \frac{-66}{2} \cdot 13$

$S_{13} = -33 \cdot 13 = -429$

Ответ: -429