Номер 1.92, страница 29 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.92. Установите соответствие между графиком степенной функции (рис. 6) и ее формулой:

а) $y = x^{\frac{2}{5}};

б) $y = x^{\frac{5}{2}};

в) $y = x^{-5}.

1) 2) 3) Рис. 6

Для установления соответствия проанализируем каждую функцию и сравним ее свойства с представленными графиками.

а) Рассмотрим функцию $y = x^{\frac{2}{5}}$. Это степенная функция вида $y = x^p$ с показателем степени $p = \frac{2}{5}$. Поскольку показатель $0 < p < 1$, то для $x \ge 0$ график функции обладает следующими свойствами:

• Область определения: $x \ge 0$.
• График проходит через начало координат $(0,0)$, так как $0^{\frac{2}{5}}=0$.
• График проходит через точку $(1,1)$, так как $1^{\frac{2}{5}}=1$.
• Функция является возрастающей на всей области определения.
• График функции является выпуклым вверх (вогнутым).

Этим свойствам соответствует график под номером 2. Он начинается в точке $(0,0)$, проходит через $(1,1)$, возрастает и является выпуклым вверх.
Ответ: а) – 2.

б) Рассмотрим функцию $y = x^{\frac{5}{2}}$. Это степенная функция вида $y = x^p$ с показателем степени $p = \frac{5}{2} = 2.5$. Поскольку показатель $p > 1$, то для $x \ge 0$ график функции обладает следующими свойствами:

• Область определения: $x \ge 0$.
• График проходит через начало координат $(0,0)$, так как $0^{\frac{5}{2}}=0$.
• График проходит через точку $(1,1)$, так как $1^{\frac{5}{2}}=1$.
• Функция является возрастающей на всей области определения.
• График функции является выпуклым вниз (вогнутым).

Этим свойствам соответствует график под номером 3. Он начинается в точке $(0,0)$, проходит через $(1,1)$, возрастает и является выпуклым вниз.
Ответ: б) – 3.

в) Рассмотрим функцию $y = x^{-5}$. Это степенная функция вида $y = x^p$ с показателем степени $p = -5$. Функцию можно переписать в виде $y = \frac{1}{x^5}$. Поскольку показатель $p < 0$, то для $x > 0$ график функции обладает следующими свойствами:

• Область определения: $x > 0$.
• График не пересекает оси координат.
• Ось $y$ ($x=0$) является вертикальной асимптотой, так как при $x \to 0^+$ значение $y \to +\infty$.
• Ось $x$ ($y=0$) является горизонтальной асимптотой, так как при $x \to +\infty$ значение $y \to 0$.
• График проходит через точку $(1,1)$, так как $1^{-5}=1$.
• Функция является убывающей на всей области определения.

Этим свойствам соответствует график под номером 1. Он имеет вертикальную и горизонтальную асимптоты, проходит через точку $(1,1)$ и убывает.
Ответ: в) – 1.

Итоговое соответствие:

• а) – 2
• б) – 3
• в) – 1