Номер 1.111, страница 31 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.111. Сколько общих точек имеют графики функций $y=\sqrt{5-x^2}$ и $y=1-x$? Найдите абсциссы этих точек.

Чтобы найти количество общих точек графиков функций $y = \sqrt{5 - x^2}$ и $y = 1 - x$ и их абсциссы, необходимо решить систему уравнений:

$$ \begin{cases} y = \sqrt{5 - x^2} \\ y = 1 - x \end{cases} $$

Приравняем правые части уравнений, так как в точках пересечения значения $x$ и $y$ у графиков совпадают: $$ \sqrt{5 - x^2} = 1 - x $$

Для решения этого иррационального уравнения найдем область допустимых значений (ОДЗ). С одной стороны, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $$ 5 - x^2 \ge 0 \implies x^2 \le 5 \implies -\sqrt{5} \le x \le \sqrt{5} $$ С другой стороны, арифметический квадратный корень (левая часть) всегда неотрицателен, поэтому и правая часть должна быть неотрицательной: $$ 1 - x \ge 0 \implies x \le 1 $$ Объединяя эти два условия, получаем ОДЗ для $x$: $x \in [-\sqrt{5}, 1]$.

Теперь, с учетом ОДЗ, возведем обе части уравнения в квадрат: $$ (\sqrt{5 - x^2})^2 = (1 - x)^2 $$ $$ 5 - x^2 = 1 - 2x + x^2 $$

Соберем все члены в одной части уравнения, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $$ x^2 + x^2 - 2x + 1 - 5 = 0 $$ $$ 2x^2 - 2x - 4 = 0 $$ Разделим все уравнение на 2: $$ x^2 - x - 2 = 0 $$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а их произведение равно -2. Легко подобрать корни: $$ x_1 = 2, \quad x_2 = -1 $$

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \in [-\sqrt{5}, 1]$). Корень $x_1 = 2$ не входит в ОДЗ, так как не удовлетворяет условию $x \le 1$. Следовательно, это посторонний корень. Корень $x_2 = -1$ входит в ОДЗ, так как $-\sqrt{5} \approx -2.24$, и условие $-\sqrt{5} \le -1 \le 1$ выполняется.

Таким образом, существует только один корень $x = -1$, который является решением исходного уравнения. Это означает, что графики данных функций имеют ровно одну общую точку. Абсцисса этой точки и есть найденное значение $x$.

Ответ: 1 общая точка, абсцисса которой равна -1.