Номер 1.118, страница 37 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.118. Верно ли, что:

a)

$\log_3 9 = 2$;

б)

$\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{16} = -4$;

в)

$\log_7 \frac{1}{7} = -1$;

г)

$\log_5 \frac{1}{125} = -3$;

д)

$\log_2 0,25 = -2$;

е)

$\lg 100 = 2$;

ж)

$\lg 0,001 = 3$;

з)

$\log_9 1 = 0$;

и)

$\log_{25} 5 = \frac{1}{2}?$

а) Чтобы проверить верность равенства $\log_3 9 = 2$, воспользуемся определением логарифма: $\log_b a = c$ равносильно $b^c = a$. В данном случае основание $b=3$, число под логарифмом $a=9$, а значение логарифма $c=2$. Подставим эти значения в показательное уравнение: $3^2 = 9$. Поскольку $3 \cdot 3 = 9$, равенство выполняется. Ответ: верно.

б) Проверим равенство $\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{16} = -4$. Согласно определению логарифма, это равенство эквивалентно $(\frac{1}{2})^{-4} = \frac{1}{16}$. Вычислим левую часть: $(\frac{1}{2})^{-4} = (2^{-1})^{-4} = 2^{(-1) \cdot (-4)} = 2^4 = 16$. Получаем $16 = \frac{1}{16}$, что является неверным. Следовательно, исходное равенство неверно. Ответ: неверно.

в) Проверим равенство $\log_7 \frac{1}{7} = -1$. По определению логарифма, это означает, что $7^{-1} = \frac{1}{7}$. По свойству степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, имеем $7^{-1} = \frac{1}{7^1} = \frac{1}{7}$. Равенство выполняется. Ответ: верно.

г) Проверим равенство $\log_5 \frac{1}{125} = -3$. По определению логарифма, это равносильно тому, что $5^{-3} = \frac{1}{125}$. Вычислим левую часть: $5^{-3} = \frac{1}{5^3} = \frac{1}{125}$. Равенство выполняется. Ответ: верно.

д) Проверим равенство $\log_2 0,25 = -2$. По определению логарифма, это означает $2^{-2} = 0,25$. Вычислим левую часть: $2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$. Переведем десятичную дробь в обыкновенную: $0,25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$. Так как $\frac{1}{4} = \frac{1}{4}$, равенство выполняется. Ответ: верно.

е) Проверим равенство $\lg 100 = 2$. Символ $\lg$ обозначает десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10. Таким образом, $\lg 100 = \log_{10} 100$. Равенство $\log_{10} 100 = 2$ по определению означает, что $10^2 = 100$. Это верно. Ответ: верно.

ж) Проверим равенство $\lg 0,001 = 3$. Это означает $\log_{10} 0,001 = 3$. По определению логарифма, должно выполняться равенство $10^3 = 0,001$. Однако, $10^3 = 1000$, а $0,001 = \frac{1}{1000} = 10^{-3}$. Поскольку $1000 \neq 0,001$, исходное равенство неверно. Правильное значение: $\lg 0,001 = -3$. Ответ: неверно.

з) Проверим равенство $\log_9 1 = 0$. По определению логарифма, это означает, что $9^0 = 1$. Это известное свойство степени: любое ненулевое число в нулевой степени равно единице. Равенство верно. Ответ: верно.

и) Проверим равенство $\log_{25} 5 = \frac{1}{2}$. По определению логарифма, это означает, что $25^{\frac{1}{2}} = 5$. Степень с показателем $\frac{1}{2}$ означает извлечение квадратного корня: $25^{\frac{1}{2}} = \sqrt{25}$. Так как $\sqrt{25}=5$, равенство выполняется. Ответ: верно.