Номер 1.124, страница 38 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.124. Вычислите значение выражения:

а) $\log_{0,2} 0,008$;

б) $\log_{3} \frac{1}{243}$;

в) $\log_{5} 0,04$;

г) $\log_{0,2} 125$;

д) $\log_{4} 2$;

е) $\log_{\sqrt{2}} 8$;

ж) $\log_{\sqrt{3}} \frac{1}{9}$;

з) $\log_{\sqrt{5}} 0,2$.

а) Чтобы вычислить значение выражения $\log_{0,2} 0,008$, нужно найти такое число $x$, для которого выполняется равенство $0,2^x = 0,008$.
Для этого представим основание и аргумент логарифма в виде степеней одного и того же числа.
Представим десятичные дроби в виде обыкновенных:
Основание: $0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.
Аргумент: $0,008 = \frac{8}{1000} = \frac{1}{125}$.
Заметим, что $125 = 5^3$, следовательно, $\frac{1}{125} = \frac{1}{5^3} = (\frac{1}{5})^3$.
Теперь наше уравнение выглядит так: $(\frac{1}{5})^x = (\frac{1}{5})^3$.
Так как основания степеней равны, то равны и их показатели: $x=3$.
Следовательно, $\log_{0,2} 0,008 = 3$.
Ответ: 3

б) Чтобы вычислить $\log_3 \frac{1}{243}$, найдем показатель степени $x$, в которую нужно возвести 3, чтобы получить $\frac{1}{243}$. То есть, $3^x = \frac{1}{243}$.
Представим число 243 как степень тройки: $3^1=3, 3^2=9, 3^3=27, 3^4=81, 3^5=243$.
Используя свойство степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем: $\frac{1}{243} = \frac{1}{3^5} = 3^{-5}$.
Наше уравнение принимает вид: $3^x = 3^{-5}$.
Отсюда $x = -5$.
Ответ: -5

в) Вычислим $\log_5 0,04$. По определению логарифма, мы ищем такое $x$, что $5^x = 0,04$.
Переведем десятичную дробь в обыкновенную: $0,04 = \frac{4}{100} = \frac{1}{25}$.
Представим $\frac{1}{25}$ как степень пятерки: $\frac{1}{25} = \frac{1}{5^2} = 5^{-2}$.
Получаем уравнение: $5^x = 5^{-2}$.
Следовательно, $x = -2$.
Ответ: -2

г) Вычислим $\log_{0,2} 125$. Мы ищем такое $x$, что $0,2^x = 125$.
Представим основание логарифма $0,2$ в виде степени числа 5: $0,2 = \frac{1}{5} = 5^{-1}$.
Представим аргумент логарифма 125 как степень числа 5: $125 = 5^3$.
Подставим эти значения в уравнение: $(5^{-1})^x = 5^3$.
Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем: $5^{-x} = 5^3$.
Приравнивая показатели, имеем $-x = 3$, откуда $x = -3$.
Ответ: -3

д) Вычислим $\log_4 2$. Мы ищем такое $x$, что $4^x = 2$.
Представим основание 4 как степень числа 2: $4 = 2^2$.
Уравнение принимает вид: $(2^2)^x = 2^1$.
По свойству степеней, $2^{2x} = 2^1$.
Приравниваем показатели: $2x=1$, откуда $x = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

е) Вычислим $\log_{\sqrt{2}} 8$. Мы ищем такое $x$, что $(\sqrt{2})^x = 8$.
Представим основание и аргумент как степени числа 2.
Основание: $\sqrt{2} = 2^{1/2}$.
Аргумент: $8 = 2^3$.
Подставим в уравнение: $(2^{1/2})^x = 2^3$.
Упростим левую часть: $2^{x/2} = 2^3$.
Приравниваем показатели степеней: $\frac{x}{2} = 3$.
Отсюда $x = 6$.
Ответ: 6

ж) Вычислим $\log_{\sqrt{3}} \frac{1}{9}$. Мы ищем такое $x$, что $(\sqrt{3})^x = \frac{1}{9}$.
Представим обе части уравнения как степени числа 3.
Основание: $\sqrt{3} = 3^{1/2}$.
Аргумент: $\frac{1}{9} = \frac{1}{3^2} = 3^{-2}$.
Подставляем в уравнение: $(3^{1/2})^x = 3^{-2}$.
Упрощаем левую часть: $3^{x/2} = 3^{-2}$.
Приравниваем показатели: $\frac{x}{2} = -2$.
Отсюда $x = -4$.
Ответ: -4

з) Вычислим $\log_{\sqrt{5}} 0,2$. Мы ищем такое $x$, что $(\sqrt{5})^x = 0,2$.
Представим обе части уравнения как степени числа 5.
Основание: $\sqrt{5} = 5^{1/2}$.
Аргумент: $0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} = 5^{-1}$.
Подставляем в уравнение: $(5^{1/2})^x = 5^{-1}$.
Упрощаем левую часть: $5^{x/2} = 5^{-1}$.
Приравниваем показатели: $\frac{x}{2} = -1$.
Отсюда $x = -2$.
Ответ: -2