Номер 1.127, страница 39 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.127. Найдите значение выражения:

a) $\log_2 \log_5 625$;

б) $\log_3 \log_2 8$;

в) $\log_9 \log_4 \sqrt[3]{4}$;

г) $\log_2 \log_3 \log_5 125$.

а) $\log_2\log_5 625$

Для решения данного выражения необходимо вычислять логарифмы последовательно, начиная с внутреннего.

1. Сначала вычислим внутренний логарифм $\log_5 625$. Логарифм $\log_a b$ — это показатель степени, в которую надо возвести основание $a$, чтобы получить число $b$. Нам нужно найти такое число $x$, что $5^x = 625$.

Поскольку $5^4 = 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 25 \times 25 = 625$, то $\log_5 625 = 4$.

2. Теперь подставим полученное значение во внешнний логарифм:

$\log_2(\log_5 625) = \log_2 4$.

3. Вычислим $\log_2 4$. Нам нужно найти такое число $y$, что $2^y = 4$.

Так как $2^2 = 4$, то $\log_2 4 = 2$.

Ответ: 2

б) $\log_3\log_2 8$

Решаем по аналогии с предыдущим примером, начиная с внутреннего логарифма.

1. Вычислим $\log_2 8$. Ищем степень, в которую нужно возвести 2, чтобы получить 8.

Так как $2^3 = 8$, то $\log_2 8 = 3$.

2. Подставим результат в исходное выражение:

$\log_3(\log_2 8) = \log_3 3$.

3. Вычислим $\log_3 3$. По свойству логарифмов, логарифм числа по тому же основанию равен единице ($\log_a a = 1$).

Следовательно, $\log_3 3 = 1$.

Ответ: 1

в) $\log_9\log_4 \sqrt[3]{4}$

Вычисляем последовательно, начиная изнутри.

1. Сначала вычислим $\log_4 \sqrt[3]{4}$. Для этого представим корень в виде степени: $\sqrt[3]{4} = 4^{1/3}$.

Выражение принимает вид $\log_4 (4^{1/3})$.

Используя свойство логарифма $\log_a (a^x) = x$, получаем: $\log_4 (4^{1/3}) = \frac{1}{3}$.

2. Теперь подставим это значение в исходное выражение:

$\log_9(\log_4 \sqrt[3]{4}) = \log_9 \left(\frac{1}{3}\right)$.

3. Чтобы найти значение $\log_9 \left(\frac{1}{3}\right)$, обозначим его за $x$: $\log_9 \left(\frac{1}{3}\right) = x$.

По определению логарифма, это равенство эквивалентно $9^x = \frac{1}{3}$.

Приведем обе части уравнения к одному основанию, в данном случае к 3. Мы знаем, что $9 = 3^2$ и $\frac{1}{3} = 3^{-1}$.

Подставим это в уравнение: $(3^2)^x = 3^{-1}$.

По свойству степеней $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем $3^{2x} = 3^{-1}$.

Так как основания равны, мы можем приравнять показатели степеней: $2x = -1$.

Отсюда $x = -\frac{1}{2}$.

Ответ: -1/2

г) $\log_2\log_3\log_5 125$

В этом выражении три вложенных логарифма. Вычисляем их последовательно, начиная с самого внутреннего.

1. Вычисляем $\log_5 125$. Ищем степень, в которую нужно возвести 5, чтобы получить 125.

Так как $5^3 = 125$, то $\log_5 125 = 3$.

2. Подставляем полученное значение в выражение. Оно принимает вид $\log_2\log_3(3)$.

Теперь вычисляем внутренний логарифм $\log_3 3$.

По свойству $\log_a a = 1$, имеем $\log_3 3 = 1$.

3. Подставляем результат в оставшееся выражение: $\log_2(1)$.

Логарифм единицы по любому допустимому основанию равен нулю, так как любое число (кроме 0) в нулевой степени равно 1. $a^0 = 1 \implies \log_a 1 = 0$.

Следовательно, $\log_2 1 = 0$.

Ответ: 0