Номер 1.130, страница 39 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.130. Пользуясь свойствами степени и основным логарифмическим тождеством, найдите значение выражения:

а) $6^{2 + \log_6 3}$;

б) $(\frac{1}{3})^{2 + \log_{\frac{1}{3}} 5}$;

в) $10^{\lg 5 + 1}$;

г) $(\frac{3}{5})^{\log_{0,6} 15 + 2}$;

д) $5^{2 - \log_5 3}$;

е) $10^{3 - \lg 4}$;

ж) $(\frac{1}{4})^{\log_{0,25} 5 - 1}$;

з) $3^{\log_3 18 - 2}$.

а) Для решения используем свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$.
$6^{2 + \log_6 3} = 6^2 \cdot 6^{\log_6 3} = 36 \cdot 3 = 108$.
Ответ: 108

б) Используем свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$.
$(\frac{1}{3})^{2 + \log_{\frac{1}{3}} 5} = (\frac{1}{3})^2 \cdot (\frac{1}{3})^{\log_{\frac{1}{3}} 5} = \frac{1}{9} \cdot 5 = \frac{5}{9}$.
Ответ: $\frac{5}{9}$

в) Учитывая, что десятичный логарифм $\lg x$ это $\log_{10} x$, применим свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$.
$10^{\lg 5 + 1} = 10^{\log_{10} 5} \cdot 10^1 = 5 \cdot 10 = 50$.
Ответ: 50

г) Сначала заметим, что основание степени $\frac{3}{5}$ равно основанию логарифма $0.6$, так как $0.6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$. Затем используем свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и основное логарифмическое тождество.
$(\frac{3}{5})^{\log_{0.6} 15 + 2} = (\frac{3}{5})^{\log_{\frac{3}{5}} 15} \cdot (\frac{3}{5})^2 = 15 \cdot \frac{9}{25} = \frac{3 \cdot 5 \cdot 9}{5 \cdot 5} = \frac{27}{5} = 5.4$.
Ответ: 5.4

д) Для решения используем свойство степени $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$ и основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$.
$5^{2 - \log_5 3} = \frac{5^2}{5^{\log_5 3}} = \frac{25}{3}$.
Ответ: $\frac{25}{3}$

е) Учитывая, что $\lg x = \log_{10} x$, применим свойство степени $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$ и основное логарифмическое тождество.
$10^{3 - \lg 4} = \frac{10^3}{10^{\log_{10} 4}} = \frac{1000}{4} = 250$.
Ответ: 250

ж) Заметим, что основание степени $\frac{1}{4}$ равно основанию логарифма $0.25$, так как $0.25 = \frac{1}{4}$. Используем свойство степени $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$ и основное логарифмическое тождество.
$(\frac{1}{4})^{\log_{0.25} 5 - 1} = \frac{(\frac{1}{4})^{\log_{\frac{1}{4}} 5}}{(\frac{1}{4})^1} = \frac{5}{\frac{1}{4}} = 5 \cdot 4 = 20$.
Ответ: 20

з) Используем свойство степени $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$ и основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$.
$3^{\log_3 18 - 2} = \frac{3^{\log_3 18}}{3^2} = \frac{18}{9} = 2$.
Ответ: 2