Номер 1.128, страница 39 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.128. Вычислите, используя основное логарифмическое тождество:

а) $2^{\log_2 7};$

б) $1,9^{\log_{1,9} 8};$

в) $10^{\lg 9};$

г) $\left(\frac{1}{2}\right)^{\log_{0,5} 3};$

д) $(\sqrt{2})^{\log_{\sqrt{2}} 5};$

е) $\left(\frac{4}{5}\right)^{\log_{0,8} 11};$

ж) $\left(\frac{1}{8}\right)^{\log_{0,125} 6};$

з) $\left(\frac{1}{3}\right)^{\log_{0,(3)} 2}.$

Все вычисления основаны на основном логарифмическом тождестве: $a^{\log_a b} = b$, при условиях $a > 0$, $a \ne 1$ и $b > 0$.

а) В выражении $2^{\log_2 7}$ основание степени $a=2$ совпадает с основанием логарифма. Число под знаком логарифма $b=7$. Применяя основное логарифмическое тождество, получаем:
$2^{\log_2 7} = 7$.
Ответ: 7.

б) В выражении $1.9^{\log_{1.9} 8}$ основание степени $a=1.9$ совпадает с основанием логарифма. Число под знаком логарифма $b=8$. По основному логарифмическому тождеству:
$1.9^{\log_{1.9} 8} = 8$.
Ответ: 8.

в) В выражении $10^{\lg 9}$ используется десятичный логарифм $\lg 9$, что по определению равно $\log_{10} 9$. Таким образом, выражение имеет вид $10^{\log_{10} 9}$. Основание степени $a=10$ совпадает с основанием логарифма. Число под знаком логарифма $b=9$. Следовательно:
$10^{\lg 9} = 10^{\log_{10} 9} = 9$.
Ответ: 9.

г) В выражении $(\frac{1}{2})^{\log_{0.5} 3}$ основание степени равно $\frac{1}{2}$, что эквивалентно $0.5$. Основание логарифма также равно $0.5$. Таким образом, $a=0.5$ и $b=3$. Применяя тождество:
$(\frac{1}{2})^{\log_{0.5} 3} = (0.5)^{\log_{0.5} 3} = 3$.
Ответ: 3.

д) В выражении $(\sqrt{2})^{\log_{\sqrt{2}} 5}$ основание степени $a=\sqrt{2}$ совпадает с основанием логарифма. Число под знаком логарифма $b=5$. По тождеству получаем:
$(\sqrt{2})^{\log_{\sqrt{2}} 5} = 5$.
Ответ: 5.

е) В выражении $(\frac{4}{5})^{\log_{0.8} 11}$ представим основание степени в виде десятичной дроби: $\frac{4}{5} = 0.8$. Выражение принимает вид $(0.8)^{\log_{0.8} 11}$. Основание степени $a=0.8$ совпадает с основанием логарифма. Число под знаком логарифма $b=11$. Следовательно:
$(\frac{4}{5})^{\log_{0.8} 11} = (0.8)^{\log_{0.8} 11} = 11$.
Ответ: 11.

ж) В выражении $(\frac{1}{8})^{\log_{0.125} 6}$ представим основание степени в виде десятичной дроби: $\frac{1}{8} = 0.125$. Выражение принимает вид $(0.125)^{\log_{0.125} 6}$. Основание степени $a=0.125$ совпадает с основанием логарифма. Число под знаком логарифма $b=6$. По тождеству:
$(\frac{1}{8})^{\log_{0.125} 6} = (0.125)^{\log_{0.125} 6} = 6$.
Ответ: 6.

з) В выражении $(\frac{1}{3})^{\log_{0,(3)} 2}$ основание логарифма $0,(3)$ — это периодическая десятичная дробь, которая равна $\frac{1}{3}$. Таким образом, выражение можно записать как $(\frac{1}{3})^{\log_{1/3} 2}$. Основание степени $a=\frac{1}{3}$ совпадает с основанием логарифма. Число под знаком логарифма $b=2$. Следовательно:
$(\frac{1}{3})^{\log_{0,(3)} 2} = (\frac{1}{3})^{\log_{1/3} 2} = 2$.
Ответ: 2.