Номер 1.135, страница 40 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.135*. Найдите значение выражения:

a) $(2^{\log_2 15} + 1)^{\log_4 2}$;

б) $0.25(1 + 4^{\log_2 5})^{\log_{26} 4}$.

1.135. Найдите значение выражения:

а) $(2^{\log_2 15} + 1)^{\log_4 2}$

Для решения этого выражения мы будем использовать основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$ и свойство логарифма $\log_{a^n} b = \frac{1}{n} \log_a b$.

1. Сначала упростим выражение внутри скобок. Согласно основному логарифмическому тождеству, $2^{\log_2 15} = 15$.

Таким образом, выражение в скобках становится $15 + 1 = 16$.

2. Теперь упростим показатель степени $\log_4 2$. Мы можем представить основание $4$ как $2^2$:

$\log_4 2 = \log_{2^2} 2 = \frac{1}{2}\log_2 2 = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

3. Подставим полученные значения обратно в исходное выражение:

$16^{\frac{1}{2}} = \sqrt{16} = 4$.

Ответ: 4

б) $0,25(1 + 4^{\log_2 5})^{\log_{26} 4}$

Для решения применим свойства степеней, основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$ и свойство $n \log_a b = \log_a b^n$.

1. Упростим выражение $4^{\log_2 5}$. Представим $4$ как $2^2$:

$4^{\log_2 5} = (2^2)^{\log_2 5} = 2^{2\log_2 5} = 2^{\log_2 5^2} = 2^{\log_2 25}$.

По основному логарифмическому тождеству, $2^{\log_2 25} = 25$.

2. Теперь выражение в скобках равно $1 + 25 = 26$.

3. Подставим это значение в исходное выражение:

$0,25 \cdot (26)^{\log_{26} 4}$.

4. Снова используем основное логарифмическое тождество для $26^{\log_{26} 4}$, что равно $4$.

5. В итоге получаем:

$0,25 \cdot 4 = \frac{1}{4} \cdot 4 = 1$.

Ответ: 1

1.136. Вычислите:

а) $4^{\log_2(2-\sqrt{3})} + 25^{\log_5(2+\sqrt{3})}$

Для решения будем использовать свойство $a^{k \log_a b} = (a^{\log_a b})^k = b^k$.

1. Упростим первое слагаемое:

$4^{\log_2(2-\sqrt{3})} = (2^2)^{\log_2(2-\sqrt{3})} = 2^{2\log_2(2-\sqrt{3})} = (2^{\log_2(2-\sqrt{3})})^2 = (2-\sqrt{3})^2$.

Раскроем квадрат разности: $(2-\sqrt{3})^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 4 - 4\sqrt{3} + 3 = 7 - 4\sqrt{3}$.

2. Упростим второе слагаемое:

$25^{\log_5(2+\sqrt{3})} = (5^2)^{\log_5(2+\sqrt{3})} = 5^{2\log_5(2+\sqrt{3})} = (5^{\log_5(2+\sqrt{3})})^2 = (2+\sqrt{3})^2$.

Раскроем квадрат суммы: $(2+\sqrt{3})^2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 4 + 4\sqrt{3} + 3 = 7 + 4\sqrt{3}$.

3. Сложим полученные значения:

$(7 - 4\sqrt{3}) + (7 + 4\sqrt{3}) = 7 - 4\sqrt{3} + 7 + 4\sqrt{3} = 14$.

Ответ: 14

б) $9^{\log_3(3-\sqrt{2})} + 16^{\log_4(3+\sqrt{2})}$

Решение аналогично предыдущему пункту.

1. Упростим первое слагаемое:

$9^{\log_3(3-\sqrt{2})} = (3^2)^{\log_3(3-\sqrt{2})} = 3^{2\log_3(3-\sqrt{2})} = (3^{\log_3(3-\sqrt{2})})^2 = (3-\sqrt{2})^2$.

Раскроем квадрат разности: $(3-\sqrt{2})^2 = 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 9 - 6\sqrt{2} + 2 = 11 - 6\sqrt{2}$.

2. Упростим второе слагаемое:

$16^{\log_4(3+\sqrt{2})} = (4^2)^{\log_4(3+\sqrt{2})} = 4^{2\log_4(3+\sqrt{2})} = (4^{\log_4(3+\sqrt{2})})^2 = (3+\sqrt{2})^2$.

Раскроем квадрат суммы: $(3+\sqrt{2})^2 = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 9 + 6\sqrt{2} + 2 = 11 + 6\sqrt{2}$.

3. Сложим полученные значения:

$(11 - 6\sqrt{2}) + (11 + 6\sqrt{2}) = 11 - 6\sqrt{2} + 11 + 6\sqrt{2} = 22$.

Ответ: 22