Номер 1.141, страница 40 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.141. Пользуясь определением логарифма, найдите:

а) $log_3 9;$

б) $log_2 32;$

в) $log_{0,5} 0,25;$

г) $log_7 7;$

д) $log_8 \frac{1}{8};$

е) $lg0,01;$

ж) $log_7 1;$

з) $log_5 \sqrt{5};$

и) $log_2 \sqrt[5]{2};$

к) $log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{27};$

л) $log_{\frac{1}{5}} 25;$

м) $log_{36} 6.$

По определению логарифма, логарифм числа $b$ по основанию $a$ (обозначается как $\log_a b$) — это показатель степени, в которую надо возвести основание $a$, чтобы получить число $b$. То есть, равенство $\log_a b = c$ равносильно равенству $a^c = b$.

а) $\log_3 9$
Пусть $\log_3 9 = x$. Согласно определению логарифма, это означает, что $3^x = 9$.
Так как $9 = 3^2$, то мы имеем уравнение $3^x = 3^2$.
Отсюда следует, что $x=2$.
Ответ: 2

б) $\log_2 32$
Пусть $\log_2 32 = x$. По определению, $2^x = 32$.
Поскольку $32 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^5$, уравнение принимает вид $2^x = 2^5$.
Следовательно, $x=5$.
Ответ: 5

в) $\log_{0,5} 0,25$
Пусть $\log_{0,5} 0,25 = x$. Это означает, что $(0,5)^x = 0,25$.
Представим десятичные дроби в виде обыкновенных: $0,5 = \frac{1}{2}$ и $0,25 = \frac{1}{4}$.
Уравнение примет вид $(\frac{1}{2})^x = \frac{1}{4}$.
Так как $\frac{1}{4} = (\frac{1}{2})^2$, получаем $(\frac{1}{2})^x = (\frac{1}{2})^2$.
Отсюда $x=2$.
Ответ: 2

г) $\log_7 7$
Пусть $\log_7 7 = x$. По определению, $7^x = 7$.
Число 7 можно представить как $7^1$. Уравнение принимает вид $7^x = 7^1$.
Следовательно, $x=1$.
Ответ: 1

д) $\log_8 \frac{1}{8}$
Пусть $\log_8 \frac{1}{8} = x$. Это означает, что $8^x = \frac{1}{8}$.
Используя свойство степеней $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, имеем $\frac{1}{8} = 8^{-1}$.
Получаем уравнение $8^x = 8^{-1}$.
Отсюда $x=-1$.
Ответ: -1

е) $\lg 0,01$
Запись $\lg$ означает десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10. Таким образом, $\lg 0,01 = \log_{10} 0,01$.
Пусть $\log_{10} 0,01 = x$. По определению, $10^x = 0,01$.
Представим $0,01$ как $\frac{1}{100}$, что равно $\frac{1}{10^2}$ или $10^{-2}$.
Уравнение принимает вид $10^x = 10^{-2}$.
Следовательно, $x=-2$.
Ответ: -2

ж) $\log_7 1$
Пусть $\log_7 1 = x$. По определению, $7^x = 1$.
Любое число (кроме нуля) в степени 0 равно 1, поэтому $1 = 7^0$.
Получаем уравнение $7^x = 7^0$.
Отсюда $x=0$.
Ответ: 0

з) $\log_5 \sqrt{5}$
Пусть $\log_5 \sqrt{5} = x$. По определению, $5^x = \sqrt{5}$.
Используя свойство степеней $\sqrt[n]{a} = a^{1/n}$, имеем $\sqrt{5} = 5^{1/2}$.
Уравнение принимает вид $5^x = 5^{1/2}$.
Следовательно, $x=\frac{1}{2}$.
Ответ: 0,5

и) $\log_2 \sqrt[5]{2}$
Пусть $\log_2 \sqrt[5]{2} = x$. По определению, $2^x = \sqrt[5]{2}$.
Используя свойство степеней $\sqrt[n]{a} = a^{1/n}$, имеем $\sqrt[5]{2} = 2^{1/5}$.
Уравнение принимает вид $2^x = 2^{1/5}$.
Следовательно, $x=\frac{1}{5}$.
Ответ: 0,2

к) $\log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{27}$
Пусть $\log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{27} = x$. По определению, $(\frac{1}{3})^x = \frac{1}{27}$.
Поскольку $27=3^3$, то $\frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = (\frac{1}{3})^3$.
Уравнение принимает вид $(\frac{1}{3})^x = (\frac{1}{3})^3$.
Отсюда $x=3$.
Ответ: 3

л) $\log_{\frac{1}{5}} 25$
Пусть $\log_{\frac{1}{5}} 25 = x$. По определению, $(\frac{1}{5})^x = 25$.
Представим основание как $ \frac{1}{5} = 5^{-1} $ и число как $25 = 5^2$.
Уравнение принимает вид $(5^{-1})^x = 5^2$, что равносильно $5^{-x} = 5^2$.
Приравнивая показатели степеней, получаем $-x = 2$, откуда $x=-2$.
Ответ: -2

м) $\log_{36} 6$
Пусть $\log_{36} 6 = x$. По определению, $36^x = 6$.
Поскольку $\sqrt{36} = 6$, а корень можно представить в виде степени $\frac{1}{2}$, мы можем записать $36^{1/2} = 6$.
Сравнивая с нашим уравнением $36^x = 6$, получаем $x=\frac{1}{2}$.
Ответ: 0,5