Номер 1.145, страница 41 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.145. Найдите значение выражения:

a) $ \log_2 16 + \log_{\frac{1}{3}} 9; $

б) $ \log_{0,5} 4 + \log_{\sqrt{5}} 25; $

в) $ \log_3 27 + \log_2 \frac{1}{2} - \log_{15} \sqrt{15}; $

г) $ \log_{81} 9 - \log_{\frac{1}{7}} 49 + \log_7 \sqrt[3]{7}. $

а) $log_2 16 + log_{\frac{1}{3}} 9$

Для решения этого выражения вычислим значение каждого логарифма по отдельности, используя определение логарифма $log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b$.

1. Найдем $log_2 16$. Нам нужно найти степень, в которую нужно возвести 2, чтобы получить 16. Так как $2^4 = 16$, то $log_2 16 = 4$.

2. Найдем $log_{\frac{1}{3}} 9$. Нам нужно найти степень, в которую нужно возвести $\frac{1}{3}$, чтобы получить 9. Пусть $x = log_{\frac{1}{3}} 9$. Тогда $(\frac{1}{3})^x = 9$. Поскольку $\frac{1}{3} = 3^{-1}$ и $9 = 3^2$, мы можем переписать уравнение как $(3^{-1})^x = 3^2$. Это упрощается до $3^{-x} = 3^2$. Приравнивая показатели степени, получаем $-x = 2$, откуда $x = -2$. Следовательно, $log_{\frac{1}{3}} 9 = -2$.

3. Теперь сложим полученные значения: $4 + (-2) = 2$.

Ответ: 2

б) $log_{0,5} 4 + log_{\sqrt{5}} 25$

Вычислим каждое слагаемое отдельно.

1. Найдем $log_{0,5} 4$. Основание $0,5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$. Аргумент $4 = 2^2$. Пусть $x = log_{0,5} 4$. Тогда $(0,5)^x = 4$. Перепишем уравнение: $(2^{-1})^x = 2^2$, что равносильно $2^{-x} = 2^2$. Отсюда $-x = 2$, или $x = -2$. Таким образом, $log_{0,5} 4 = -2$.

2. Найдем $log_{\sqrt{5}} 25$. Основание $\sqrt{5} = 5^{\frac{1}{2}}$. Аргумент $25 = 5^2$. Пусть $y = log_{\sqrt{5}} 25$. Тогда $(\sqrt{5})^y = 25$. Перепишем уравнение: $(5^{\frac{1}{2}})^y = 5^2$, что равносильно $5^{\frac{y}{2}} = 5^2$. Отсюда $\frac{y}{2} = 2$, или $y = 4$. Таким образом, $log_{\sqrt{5}} 25 = 4$.

3. Сложим результаты: $-2 + 4 = 2$.

Ответ: 2

в) $log_3 27 + log_2 \frac{1}{2} - log_{15} \sqrt{15}$

Найдем значение каждого члена выражения.

1. $log_3 27$. Так как $3^3 = 27$, то $log_3 27 = 3$.

2. $log_2 \frac{1}{2}$. Так как $2^{-1} = \frac{1}{2}$, то $log_2 \frac{1}{2} = -1$.

3. $log_{15} \sqrt{15}$. Так как $\sqrt{15} = 15^{\frac{1}{2}}$, то $log_{15} \sqrt{15} = \frac{1}{2}$.

4. Теперь выполним вычисления: $3 + (-1) - \frac{1}{2} = 2 - \frac{1}{2} = 1,5$.

Ответ: 1,5

г) $log_{81} 9 - log_{\frac{1}{7}} 49 + log_7 \sqrt[3]{7}$

Вычислим каждый логарифм по очереди.

1. $log_{81} 9$. Так как $81^{\frac{1}{2}} = \sqrt{81} = 9$, то $log_{81} 9 = \frac{1}{2}$.

2. $log_{\frac{1}{7}} 49$. Пусть $x = log_{\frac{1}{7}} 49$. Тогда $(\frac{1}{7})^x = 49$. Перепишем уравнение: $(7^{-1})^x = 7^2$, что равносильно $7^{-x} = 7^2$. Отсюда $-x = 2$, или $x = -2$. Следовательно, $log_{\frac{1}{7}} 49 = -2$.

3. $log_7 \sqrt[3]{7}$. Так как $\sqrt[3]{7} = 7^{\frac{1}{3}}$, то $log_7 \sqrt[3]{7} = \frac{1}{3}$.

4. Подставим найденные значения в исходное выражение: $\frac{1}{2} - (-2) + \frac{1}{3} = \frac{1}{2} + 2 + \frac{1}{3}$. Для сложения дробей приведем их к общему знаменателю 6: $\frac{3}{6} + \frac{12}{6} + \frac{2}{6} = \frac{3 + 12 + 2}{6} = \frac{17}{6}$.

Ответ: $\frac{17}{6}$