Номер 1.151, страница 41 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.151. Представьте число 3 в виде степени с основанием:

а) 2;

б) 7;

в) 10;

г) $\sqrt{5}$.

Для того чтобы представить число в виде степени с заданным основанием, мы используем основное логарифмическое тождество. Это тождество гласит, что для любого положительного числа a и любого положительного основания b (где $b \neq 1$) справедливо равенство:

$a = b^{\log_b a}$

Это равенство следует непосредственно из определения логарифма: $\log_b a$ — это показатель степени, в которую нужно возвести основание b, чтобы получить число a.

Применим это правило к каждому из подпунктов задачи, где $a = 3$.

а)

Нужно представить число 3 в виде степени с основанием 2. Согласно основному логарифмическому тождеству, подставляем $a=3$ и $b=2$:

$3 = 2^{\log_2 3}$

Ответ: $2^{\log_2 3}$.

б)

Нужно представить число 3 в виде степени с основанием 7. Подставляем $a=3$ и $b=7$ в тождество:

$3 = 7^{\log_7 3}$

Ответ: $7^{\log_7 3}$.

в)

Нужно представить число 3 в виде степени с основанием 10. Подставляем $a=3$ и $b=10$ в тождество:

$3 = 10^{\log_{10} 3}$

Логарифм по основанию 10 часто записывают как десятичный логарифм $\lg$. Поэтому запись может выглядеть так: $3 = 10^{\lg 3}$.

Ответ: $10^{\log_{10} 3}$.

г)

Нужно представить число 3 в виде степени с основанием $\sqrt{5}$. Подставляем $a=3$ и $b=\sqrt{5}$ в тождество:

$3 = (\sqrt{5})^{\log_{\sqrt{5}} 3}$

Показатель степени можно также преобразовать, используя свойство логарифма $\log_{b^k} a = \frac{1}{k}\log_b a$. В нашем случае $b=5$ и $k=\frac{1}{2}$:

$\log_{\sqrt{5}} 3 = \log_{5^{1/2}} 3 = \frac{1}{1/2} \log_5 3 = 2\log_5 3$

Таким образом, выражение можно записать и как $3 = (\sqrt{5})^{2\log_5 3}$.

Ответ: $(\sqrt{5})^{\log_{\sqrt{5}} 3}$.