Номер 1.154, страница 42 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.154*. Вычислите:

$\log_5(49^{\log_7 2} + 36^{\log_6 11})$

Для вычисления значения данного выражения необходимо сначала упростить выражение в скобках. Упростим каждое слагаемое в скобках по отдельности.

1. Рассмотрим первое слагаемое: $49^{\log_7 2}$.

Представим основание $49$ в виде степени с основанием $7$: $49 = 7^2$.

Тогда выражение примет вид: $(7^2)^{\log_7 2}$.

Воспользуемся свойством степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(7^2)^{\log_7 2} = 7^{2 \cdot \log_7 2}$

Теперь воспользуемся свойством логарифма $k \cdot \log_a b = \log_a b^k$ для показателя степени:

$7^{2 \log_7 2} = 7^{\log_7 2^2} = 7^{\log_7 4}$

Применим основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$:

$7^{\log_7 4} = 4$

2. Рассмотрим второе слагаемое: $36^{\log_6 11}$.

Представим основание $36$ в виде степени с основанием $6$: $36 = 6^2$.

Тогда выражение примет вид: $(6^2)^{\log_6 11}$.

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получим:

$(6^2)^{\log_6 11} = 6^{2 \cdot \log_6 11}$

Применим свойство логарифма $k \cdot \log_a b = \log_a b^k$ для показателя степени:

$6^{2 \log_6 11} = 6^{\log_6 11^2} = 6^{\log_6 121}$

Согласно основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$:

$6^{\log_6 121} = 121$

3. Теперь подставим полученные значения обратно в исходное выражение:

$\log_5(49^{\log_7 2} + 36^{\log_6 11}) = \log_5(4 + 121) = \log_5(125)$

Для вычисления $\log_5 125$ необходимо найти степень, в которую нужно возвести $5$, чтобы получить $125$.

Так как $125 = 5^3$, то:

$\log_5 125 = 3$

Ответ: 3