Номер 1.160, страница 42 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.160. Изобразите график четной функции $y = f(x)$, зная, что:

a) область определения функции — $\mathbb{R}$;

б) $x_{\min} = -3$, $x_{\max} = 0$;

в) $f(-3) = -2$, $f(0) = -1$ и $f(-5) = 0$.

Для построения графика проанализируем все предоставленные условия, используя определение четной функции, согласно которому ее график симметричен относительно оси ординат ($Oy$) и для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.

а) область определения функции — $R$

Это условие означает, что функция определена для всех действительных чисел $x$. График функции будет сплошной линией, простирающейся бесконечно влево и вправо по оси $Ox$.

б) $x_{min} = -3, x_{max} = 0$

Это условие указывает на наличие точек локальных экстремумов. В точке $x = -3$ функция достигает локального минимума, а в точке $x = 0$ — локального максимума. Поскольку функция является четной, ее график симметричен относительно оси $Oy$. Это означает, что если $x_0 \neq 0$ является точкой экстремума, то и $-x_0$ также является точкой экстремума того же типа.

• Из $x_{min} = -3$ следует, что $x = -(-3) = 3$ также является точкой локального минимума.
• Точка $x_{max} = 0$ находится на оси симметрии, поэтому она не порождает нового симметричного экстремума.

Таким образом, у функции есть точки минимума при $x = -3$ и $x = 3$, и точка максимума при $x = 0$.

в) $f(-3) = -2, f(0) = -1$ и $f(-5) = 0$

Здесь даны конкретные значения функции, которые позволяют нам отметить ключевые точки на графике.

• Из $f(-3) = -2$ и условия б) мы знаем, что точка с координатами $(-3, -2)$ является точкой локального минимума.
• Из $f(0) = -1$ и условия б) мы знаем, что точка с координатами $(0, -1)$ является точкой локального максимума. Эта точка также является точкой пересечения графика с осью $Oy$.
• Из $f(-5) = 0$ мы знаем, что график пересекает ось $Ox$ в точке $(-5, 0)$.

• Для точки минимума: $f(3) = f(-3) = -2$. Координаты второй точки минимума — $(3, -2)$.
• Для точки пересечения с осью $Ox$: $f(5) = f(-5) = 0$. Координаты второй точки пересечения с осью $Ox$ — $(5, 0)$.

Построение графика

Собрав всю информацию, мы можем построить эскиз графика. Отметим на координатной плоскости все ключевые точки:

• Точки пересечения с осью $Ox$ (нули функции): $(-5, 0)$ и $(5, 0)$.
• Точки локального минимума: $(-3, -2)$ и $(3, -2)$.
• Точка локального максимума: $(0, -1)$.

Соединяем эти точки плавной кривой, которая симметрична относительно оси $Oy$ и имеет соответствующее поведение в точках экстремумов (изгибается вверх в минимумах и вниз в максимуме).

Ответ: