Номер 1.167, страница 43 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.167. Решите систему неравенств:

a) $\begin{cases} x^2 - 7x - 18 \le 0, \\ x^2 \ge 4; \end{cases}$

б) $\begin{cases} (x - 1)(x + 2)(x - 5) \ge 0, \\ x^2 \ge 5x. \end{cases}$

а) Решим систему неравенств:
$\begin{cases} x^2 - 7x - 18 \le 0, \\ x^2 \ge 4; \end{cases}$

1. Решим первое неравенство: $x^2 - 7x - 18 \le 0$.
Для этого найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 7x - 18 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 49 + 72 = 121 = 11^2$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 11}{2} = -2$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 11}{2} = 9$
Графиком функции $y = x^2 - 7x - 18$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, неравенство $x^2 - 7x - 18 \le 0$ выполняется на промежутке между корнями, включая сами корни.
Решение первого неравенства: $x \in [-2, 9]$.

2. Решим второе неравенство: $x^2 \ge 4$.
Это неравенство эквивалентно $x^2 - 4 \ge 0$, или $(x-2)(x+2) \ge 0$.
Корнями уравнения $x^2-4=0$ являются $x_1=-2$ и $x_2=2$.
Графиком функции $y = x^2 - 4$ является парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется на промежутках вне корней, включая корни.
Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty)$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств.
Нам необходимо найти пересечение множеств $[-2, 9]$ и $(-\infty, -2] \cup [2, \infty)$.
Изобразив эти множества на числовой оси, мы видим, что их пересечением является точка $x = -2$ и отрезок $[2, 9]$.
Таким образом, решение системы: $x \in \{-2\} \cup [2, 9]$.

Ответ: $\{-2\} \cup [2, 9]$.

б) Решим систему неравенств:
$\begin{cases} (x - 1)(x + 2)(x - 5) \ge 0, \\ x^2 \ge 5x. \end{cases}$

1. Решим первое неравенство: $(x - 1)(x + 2)(x - 5) \ge 0$.
Воспользуемся методом интервалов. Нули левой части неравенства: $x_1 = -2, x_2 = 1, x_3 = 5$.
Эти точки разбивают числовую ось на четыре интервала: $(-\infty, -2)$, $(-2, 1)$, $(1, 5)$, $(5, \infty)$.
Определим знак выражения $(x - 1)(x + 2)(x - 5)$ на каждом интервале:
- на $(5, \infty)$ (например, при $x=6$): $(+)(+)(+) > 0$
- на $(1, 5)$ (например, при $x=2$): $(+)(+)(-) < 0$
- на $(-2, 1)$ (например, при $x=0$): $(-)(+)(-) > 0$
- на $(-\infty, -2)$ (например, при $x=-3$): $(-)(-)(-) < 0$
Поскольку неравенство нестрогое ($\ge 0$), в решение включаем промежутки со знаком "+" и сами нули.
Решение первого неравенства: $x \in [-2, 1] \cup [5, \infty)$.

2. Решим второе неравенство: $x^2 \ge 5x$.
Перенесем все в левую часть: $x^2 - 5x \ge 0$.
Разложим на множители: $x(x - 5) \ge 0$.
Нули левой части: $x_1 = 0, x_2 = 5$.
Графиком функции $y = x^2 - 5x$ является парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется при значениях $x$ левее меньшего корня и правее большего корня, включая сами корни.
Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, 0] \cup [5, \infty)$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств.
Нам нужно найти пересечение множеств $x \in [-2, 1] \cup [5, \infty)$ и $x \in (-\infty, 0] \cup [5, \infty)$.
- Пересечение $[-2, 1]$ и $(-\infty, 0] \cup [5, \infty)$ дает отрезок $[-2, 0]$.
- Пересечение $[5, \infty)$ и $(-\infty, 0] \cup [5, \infty)$ дает луч $[5, \infty)$.
Объединяя полученные результаты, получаем решение системы.
Решение системы: $x \in [-2, 0] \cup [5, \infty)$.

Ответ: $[-2, 0] \cup [5, \infty)$.