Номер 1.161, страница 42 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.161. Упростите выражение:

a) $(a - b^{1/4})(a + b^{1/4}) + \sqrt{b};$

б) $\sqrt[3]{a^2} - (a^{1/3} - b)(a^{1/3} + b).$

а) В выражении $(a - b^{\frac{1}{4}})(a + b^{\frac{1}{4}}) + \sqrt{b}$ произведение скобок представляет собой формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$. Применим ее, где $x=a$ и $y=b^{\frac{1}{4}}$:
$(a - b^{\frac{1}{4}})(a + b^{\frac{1}{4}}) = a^2 - (b^{\frac{1}{4}})^2 = a^2 - b^{\frac{1}{4} \cdot 2} = a^2 - b^{\frac{1}{2}}$.
Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:
$a^2 - b^{\frac{1}{2}} + \sqrt{b}$.
Поскольку по определению степени с дробным показателем $b^{\frac{1}{2}} = \sqrt{b}$, то выражение принимает вид:
$a^2 - \sqrt{b} + \sqrt{b} = a^2$.
Ответ: $a^2$

б) В выражении $\sqrt[3]{a^2} - (a^{\frac{1}{3}} - b)(a^{\frac{1}{3}} + b)$ также воспользуемся формулой разности квадратов для произведения $(a^{\frac{1}{3}} - b)(a^{\frac{1}{3}} + b)$. Здесь $x=a^{\frac{1}{3}}$ и $y=b$:
$(a^{\frac{1}{3}} - b)(a^{\frac{1}{3}} + b) = (a^{\frac{1}{3}})^2 - b^2 = a^{\frac{1}{3} \cdot 2} - b^2 = a^{\frac{2}{3}} - b^2$.
Первый член выражения, $\sqrt[3]{a^2}$, можно представить в виде степени с дробным показателем: $\sqrt[3]{a^2} = a^{\frac{2}{3}}$.
Подставим все преобразования в исходное выражение:
$a^{\frac{2}{3}} - (a^{\frac{2}{3}} - b^2)$.
Раскроем скобки, изменив знаки на противоположные:
$a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{2}{3}} + b^2 = b^2$.
Ответ: $b^2$