Номер 1.155, страница 42 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.155*. Найдите значение выражения $36^{\log_{\frac{1}{6}} 2} + 10^{1-\lg 4} - 4^{\log_2 3}$.

Для того чтобы найти значение выражения $36^{\log_{\frac{1}{6}} 2} + 10^{1 - \lg 4} - 4^{\log_2 3}$, необходимо последовательно упростить каждый из его членов.

1. Упростим первый член $36^{\log_{\frac{1}{6}} 2}$

Воспользуемся свойствами степеней и логарифмов. Представим основание степени $36$ как $6^2$ и основание логарифма $\frac{1}{6}$ как $6^{-1}$.
Применим свойство логарифма $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$:
$\log_{\frac{1}{6}} 2 = \log_{6^{-1}} 2 = \frac{1}{-1} \log_6 2 = -\log_6 2$.
Теперь подставим это в исходное выражение первого члена:
$36^{\log_{\frac{1}{6}} 2} = (6^2)^{-\log_6 2} = 6^{-2\log_6 2}$.
Используя свойство $k \log_a b = \log_a b^k$ и основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$, получаем:
$6^{\log_6 2^{-2}} = 2^{-2} = \frac{1}{4}$.

2. Упростим второй член $10^{1 - \lg 4}$

Используем свойство степени $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$. Учтем, что $\lg 4$ — это десятичный логарифм, то есть $\log_{10} 4$.
$10^{1 - \lg 4} = \frac{10^1}{10^{\lg 4}} = \frac{10}{10^{\log_{10} 4}}$.
По основному логарифмическому тождеству $10^{\log_{10} 4} = 4$.
Таким образом, второй член равен $\frac{10}{4} = \frac{5}{2}$.

3. Упростим третий член $4^{\log_2 3}$

Представим основание степени $4$ как $2^2$ и применим свойства степени и логарифма:
$4^{\log_2 3} = (2^2)^{\log_2 3} = 2^{2 \cdot \log_2 3} = 2^{\log_2 3^2}$.
По основному логарифмическому тождеству получаем:
$2^{\log_2 3^2} = 3^2 = 9$.

4. Вычислим итоговое значение выражения

Теперь подставим полученные значения в исходное выражение:
$\frac{1}{4} + \frac{5}{2} - 9$.
Приведем дроби к общему знаменателю $4$:
$\frac{1}{4} + \frac{10}{4} - \frac{36}{4} = \frac{1 + 10 - 36}{4} = \frac{11 - 36}{4} = -\frac{25}{4}$.
В виде десятичной дроби это $-6.25$.
Ответ: $-6.25$