Номер 1.150, страница 41 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.150. Пользуясь свойствами степени и основным логарифмическим тождеством, найдите значение выражения:

а) $5^{2+\log_5 3}$;

б) $(\frac{1}{6})^{\log_{\frac{1}{6}} 3+1}$;

в) $10^{2-\lg 4}$;

г) $(\frac{1}{25})^{\log_{0.04} 3-1}$.

а) $5^{2 + \log_5 3}$

Для решения воспользуемся свойством степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и основным логарифмическим тождеством $a^{\log_a b} = b$.

$5^{2 + \log_5 3} = 5^2 \cdot 5^{\log_5 3}$

Согласно основному логарифмическому тождеству, $5^{\log_5 3} = 3$.

Тогда получаем: $5^2 \cdot 3 = 25 \cdot 3 = 75$.

Ответ: 75

б) $(\frac{1}{6})^{\log_{\frac{1}{6}} 3 + 1}$

Используем свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:

$(\frac{1}{6})^{\log_{\frac{1}{6}} 3 + 1} = (\frac{1}{6})^{\log_{\frac{1}{6}} 3} \cdot (\frac{1}{6})^1$

По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, имеем $(\frac{1}{6})^{\log_{\frac{1}{6}} 3} = 3$.

Тогда выражение равно: $3 \cdot \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

в) $10^{2 - \lg 4}$

Для решения воспользуемся свойством степени $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$. Учтем, что $\lg 4$ это десятичный логарифм $\log_{10} 4$.

$10^{2 - \lg 4} = \frac{10^2}{10^{\lg 4}}$

По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, получаем $10^{\lg 4} = 4$.

Тогда выражение равно: $\frac{10^2}{4} = \frac{100}{4} = 25$.

Ответ: 25

г) $(\frac{1}{25})^{\log_{0,04} 3 - 1}$

Сначала преобразуем основание логарифма: $0,04 = \frac{4}{100} = \frac{1}{25}$. Таким образом, основание логарифма совпадает с основанием степени.

Используем свойство степени $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:

$(\frac{1}{25})^{\log_{0,04} 3 - 1} = (\frac{1}{25})^{\log_{\frac{1}{25}} 3 - 1} = \frac{(\frac{1}{25})^{\log_{\frac{1}{25}} 3}}{(\frac{1}{25})^1}$

По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, числитель равен 3.

Тогда выражение равно: $\frac{3}{\frac{1}{25}} = 3 \cdot 25 = 75$.

Ответ: 75