Номер 1.156, страница 42 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

156. Дана функция $y = 3x^2 - 5x$. На каком из данных промежутков эта функция принимает только положительные значения:

а) $[1; 1,7];$

б) $[0,3; 2];$

в) $[-2; -0,1];$

г) $[1,6; 1,7];$

д) $[\frac{5}{3}; +\infty)?$

Для того чтобы определить, на каком из данных промежутков функция $y = 3x^2 - 5x$ принимает только положительные значения, необходимо решить неравенство $y > 0$.

$3x^2 - 5x > 0$

Сначала найдем нули функции, решив уравнение $3x^2 - 5x = 0$:

$x(3x - 5) = 0$

Отсюда получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = \frac{5}{3}$.

Графиком функции является парабола с ветвями, направленными вверх (так как коэффициент при $x^2$ равен $3 > 0$). Следовательно, функция положительна на интервалах, находящихся за пределами корней:

$x \in (-\infty; 0) \cup (\frac{5}{3}; +\infty)$

Теперь проверим каждый из предложенных промежутков. Для удобства вычислений представим $\frac{5}{3}$ в виде десятичной дроби: $\frac{5}{3} = 1.666...$.

а) $[1; 1,7]$

Этот промежуток содержит точку $x = 1$, которая находится между корнями $0$ и $\frac{5}{3}$. В этой точке функция принимает отрицательное значение: $y(1) = 3(1)^2 - 5(1) = -2$.

Ответ: на этом промежутке функция принимает не только положительные значения.

б) $[0,3; 2]$

Этот промежуток содержит интервал $(0; \frac{5}{3})$, на котором функция отрицательна. Например, $y(1) = -2$.

Ответ: на этом промежутке функция принимает не только положительные значения.

в) $[-2; -0,1]$

Данный промежуток полностью содержится в интервале $(-\infty; 0)$, на котором функция положительна. Следовательно, для любого $x$ из $[-2; -0,1]$ значение $y$ будет больше нуля.

Ответ: на этом промежутке функция принимает только положительные значения.

г) $[1,6; 1,7]$

Поскольку $1,6 < \frac{5}{3}$, этот промежуток включает значения $x$, для которых функция отрицательна. Например, $y(1,6) = 3(1,6)^2 - 5(1,6) = 7,68 - 8 = -0,32$.

Ответ: на этом промежутке функция принимает не только положительные значения.

д) $[\frac{5}{3}; +\infty)$

В точке $x = \frac{5}{3}$ функция обращается в ноль: $y(\frac{5}{3})=0$. Ноль не является положительным числом, поэтому условие "принимает только положительные значения" не выполняется.

Ответ: на этом промежутке функция принимает не только положительные значения (включая ноль).