Номер 1.153, страница 42 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.153*. Найдите значение выражения $36^{\log_6 5 + \log_{81} 9}$.

Для того чтобы найти значение выражения $36^{\log_6 5 + \log_{81} 9}$, необходимо последовательно его упростить, начав с показателя степени.

1. Упростим показатель степени: $\log_6 5 + \log_{81} 9$.

Рассмотрим второе слагаемое $\log_{81} 9$. Для его вычисления можно задаться вопросом: в какую степень нужно возвести 81, чтобы получить 9? Так как $\sqrt{81} = 9$, а корень квадратный — это степень $\frac{1}{2}$, то $\log_{81} 9 = \frac{1}{2}$.

Другой способ — привести логарифм к новому основанию, используя свойство $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$. Представим основание $81$ как $9^2$:
$\log_{81} 9 = \log_{9^2} 9 = \frac{1}{2} \log_9 9$
Поскольку $\log_9 9 = 1$, получаем:
$\log_{81} 9 = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$

Теперь показатель степени выглядит так: $\log_6 5 + \frac{1}{2}$.

2. Подставим упрощенный показатель в исходное выражение.

Выражение принимает вид: $36^{\log_6 5 + \frac{1}{2}}$.

3. Применим свойства степеней.

Используем свойство $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:
$36^{\log_6 5 + \frac{1}{2}} = 36^{\log_6 5} \cdot 36^{\frac{1}{2}}$

4. Вычислим каждый множитель по отдельности.

Для первого множителя $36^{\log_6 5}$ представим основание $36$ как $6^2$ и воспользуемся свойствами степеней и логарифмов:
$36^{\log_6 5} = (6^2)^{\log_6 5} = 6^{2 \cdot \log_6 5} = 6^{\log_6 (5^2)} = 6^{\log_6 25}$
По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$:
$6^{\log_6 25} = 25$

Для второго множителя $36^{\frac{1}{2}}$:
$36^{\frac{1}{2}} = \sqrt{36} = 6$

5. Найдем конечное значение.

Перемножим полученные результаты:
$25 \cdot 6 = 150$

Ответ: 150