Номер 1.148, страница 41 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.148. Вычислите: $\log_{125} 5 - \log_{\sqrt{2}} 0.5 + \log_{2.5} 0.4$.

Для вычисления значения выражения $\log_{125}5 - \log_{\sqrt{2}}0,5 + \log_{2,5}0,4$ необходимо вычислить значение каждого логарифма по отдельности, а затем выполнить арифметические действия.

1. Вычислим первый член выражения: $\log_{125}5$.
Представим основание логарифма 125 в виде степени числа 5.
$125 = 5^3$.
Применим свойство логарифма $\log_{a^n}b = \frac{1}{n}\log_a b$:
$\log_{125}5 = \log_{5^3}5 = \frac{1}{3}\log_5 5$.
Так как $\log_5 5 = 1$, получаем:
$\frac{1}{3} \cdot 1 = \frac{1}{3}$.

2. Вычислим второй член выражения: $\log_{\sqrt{2}}0,5$.
Представим основание и аргумент логарифма в виде степеней числа 2.
Основание: $\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}$.
Аргумент: $0,5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$.
Применим свойство логарифма $\log_{a^n}{b^m} = \frac{m}{n}\log_a b$:
$\log_{\sqrt{2}}0,5 = \log_{2^{1/2}}2^{-1} = \frac{-1}{\frac{1}{2}}\log_2 2$.
Так как $\log_2 2 = 1$, получаем:
$\frac{-1}{\frac{1}{2}} \cdot 1 = -2$.

3. Вычислим третий член выражения: $\log_{2,5}0,4$.
Представим основание и аргумент логарифма в виде обыкновенных дробей.
Основание: $2,5 = \frac{25}{10} = \frac{5}{2}$.
Аргумент: $0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.
Заметим, что аргумент является обратным числом к основанию: $\frac{2}{5} = \left(\frac{5}{2}\right)^{-1}$.
Следовательно, по определению логарифма ($\log_a a^k = k$):
$\log_{2,5}0,4 = \log_{\frac{5}{2}}\left(\frac{5}{2}\right)^{-1} = -1$.

4. Теперь подставим все найденные значения в исходное выражение:
$\log_{125}5 - \log_{\sqrt{2}}0,5 + \log_{2,5}0,4 = \frac{1}{3} - (-2) + (-1)$.
Выполним вычисления:
$\frac{1}{3} + 2 - 1 = \frac{1}{3} + 1 = \frac{1}{3} + \frac{3}{3} = \frac{4}{3}$.

Ответ: $\frac{4}{3}$.