Номер 1.142, страница 40 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.142. Найдите число x:

a) $\log_5 x = 1$;

б) $\log_{\frac{1}{3}} x = -2$;

в) $\log_2 x = 3$;

г) $\lg x = \frac{1}{2}$.

Для решения всех уравнений воспользуемся основным определением логарифма: $\log_b a = c$ эквивалентно $b^c = a$, где $a > 0$, $b > 0$ и $b \neq 1$.

а) $\log_5 x = 1$

В данном уравнении основание логарифма $b = 5$, а значение логарифма $c = 1$. Нам нужно найти число $x$.

Согласно определению логарифма, мы можем переписать уравнение в показательной форме:

$x = 5^1$

Следовательно, $x = 5$.

Ответ: $5$

б) $\log_{\frac{1}{3}} x = -2$

Здесь основание логарифма $b = \frac{1}{3}$, а значение логарифма $c = -2$.

Перепишем уравнение в показательной форме:

$x = \left(\frac{1}{3}\right)^{-2}$

Чтобы возвести дробь в отрицательную степень, нужно перевернуть дробь и возвести в ту же степень, но с положительным знаком:

$x = \left(\frac{3}{1}\right)^{2} = 3^2 = 9$

Ответ: $9$

в) $\log_2 x = 3$

В этом уравнении основание $b = 2$, а значение логарифма $c = 3$.

Применяем определение логарифма:

$x = 2^3$

Вычисляем степень:

$x = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$

Ответ: $8$

г) $\lg x = \frac{1}{2}$

Символ $\lg$ обозначает десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10. Таким образом, уравнение можно записать как $\log_{10} x = \frac{1}{2}$.

Здесь основание $b = 10$, а значение логарифма $c = \frac{1}{2}$.

Переходим к показательной форме:

$x = 10^{\frac{1}{2}}$

Возведение в степень $\frac{1}{2}$ эквивалентно извлечению квадратного корня:

$x = \sqrt{10}$

Ответ: $\sqrt{10}$