Номер 1.140, страница 40 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.140. Найдите логарифмы чисел $3$; $\frac{1}{9}$; $1$; $\sqrt{3}$ по основанию $3$.

Для нахождения логарифмов воспользуемся определением: логарифм числа $b$ по основанию $a$ (обозначается $log_a b$) — это показатель степени $x$, в которую надо возвести основание $a$, чтобы получить число $b$. Таким образом, равенство $log_a b = x$ равносильно равенству $a^x = b$. В данном случае основание $a=3$.

$log_3 3$

Нужно найти показатель степени $x$, в которую нужно возвести число 3, чтобы получить 3. Это эквивалентно решению уравнения $3^x = 3$.
Очевидно, что $x=1$, так как $3^1=3$.
Следовательно, $log_3 3 = 1$.
Ответ: 1.

$log_3 \frac{1}{9}$

Нужно найти показатель степени $x$, для которого выполняется равенство $3^x = \frac{1}{9}$.
Представим число $\frac{1}{9}$ в виде степени с основанием 3. Так как $9 = 3^2$, то $\frac{1}{9} = \frac{1}{3^2} = 3^{-2}$.
Теперь уравнение выглядит как $3^x = 3^{-2}$.
Отсюда следует, что $x=-2$.
Таким образом, $log_3 \frac{1}{9} = -2$.
Ответ: -2.

$log_3 1$

Нужно найти показатель степени $x$, для которого $3^x = 1$.
Любое ненулевое число в степени 0 равно 1. Значит, $3^0 = 1$.
Следовательно, $x=0$.
Итак, $log_3 1 = 0$.
Ответ: 0.

$log_3 \sqrt{3}$

Нужно найти показатель степени $x$, для которого $3^x = \sqrt{3}$.
Представим $\sqrt{3}$ как степень с основанием 3. По определению, квадратный корень из числа равен этому числу в степени $\frac{1}{2}$, то есть $\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$.
Уравнение принимает вид $3^x = 3^{\frac{1}{2}}$.
Отсюда $x = \frac{1}{2}$.
Значит, $log_3 \sqrt{3} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.